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利用分位数回归模拟人工樟子松树干干形

辛士冬 姜立春

辛士冬, 姜立春. 利用分位数回归模拟人工樟子松树干干形[J]. 北京林业大学学报, 2020, 42(2): 1-8. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014
引用本文: 辛士冬, 姜立春. 利用分位数回归模拟人工樟子松树干干形[J]. 北京林业大学学报, 2020, 42(2): 1-8. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014
Xin Shidong, Jiang Lichun. Modeling stem taper profile for Pinus sylvestris plantations using nonlinear quantile regression[J]. Journal of Beijing Forestry University, 2020, 42(2): 1-8. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014
Citation: Xin Shidong, Jiang Lichun. Modeling stem taper profile for Pinus sylvestris plantations using nonlinear quantile regression[J]. Journal of Beijing Forestry University, 2020, 42(2): 1-8. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014

利用分位数回归模拟人工樟子松树干干形

doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014
基金项目: 国家自然科学基金(31570624),黑龙江省应用技术研究与开发计划项目(GA19C006)和中央高校基本科研业务费专项资金资助
详细信息
    作者简介:

    辛士冬。主要研究方向:森林经理。Email:774933353@qq.com 地址:150040 黑龙江省哈尔滨市香坊区和兴路26号东北林业大学林学院

    通讯作者:

    姜立春,教授,博士生导师。主要研究方向:森林经理。Email:jlichun@nefu.edu.cn 地址:同上

  • 中图分类号: S758.2

Modeling stem taper profile for Pinus sylvestris plantations using nonlinear quantile regression

  • 摘要: 目的采用非线性分位数回归方法构建樟子松树干削度方程,并对比分析9个分位数(τ = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9)模型和传统的非线性回归削度方程的预测精度。方法以七台河市林业局金沙林场154株人工樟子松干形数据为研究对象,选取简单削度方程、分段削度方程和可变指数削度方程,利用非线性回归和非线性分位数回归方法构建樟子松树干削度方程。采用确定系数(R2)、平均误差(MAB)、相对误差(MPB)、均方根误差(RMSE)为统计指标对构建的削度方程进行对比分析。结果(1)在9个分位点(τ = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9)下的各削度方程都可以收敛,分位数回归方法可以灵活预测各分位点树干曲线的变化。(2)与非线性回归相比,基于中位数(τ = 0.5)时的各削度方程在拟合过程中表现最好,其中以可变指数削度方程表现最优。(3)检验结果也表明:相对于非线性回归的各削度方程,基于中位数(τ = 0.5)的简单削度模型的MAB和MPB均下降26.7%,RMSE下降19.9%;基于中位数(τ = 0.5)的分段削度方程和可变指数方程预测能力较强。(4)中位数回归的各削度方程在树干大部分的预测能力都优于相应的非线性削度方程。结论分位数回归方法是一种稳健的建模方式,基于中位数(τ = 0.5)的可变指数削度方程的预测精度最高,适合该区域樟子松树干干形的预测。
  • 图  1  樟子松树干干形曲线模拟

    A1:非线性回归的削度方程;A2:中位数回归削度方程;A3:3个分位数(τ = 0.4,0.5,0.6);A4:9个分位数(τ = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9)。A1, taper equation of nonlinear regression; A2, taper equation of median regression; A3, three quantiles (τ = 0.4, 0.5, 0.6); A4, nine quantiles (τ = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9).

    Figure  1.  Stem taper curve simulation of Pinus sylvestris

    图  2  樟子松削度方程和中位数削度方程在树干不同高度处的预测能力

    A1、A2:非线性回归和中位数回归的简单削度方程;B1、B2:非线性回归和中位数回归的分段削度方程;C1、C2:非线性回归和中位数回归的可变指数削度方程。A1, A2, single taper equations of nonlinear regression and median regression; B1, B2, segmented taper equations of nonlinear regression and median regression; C1, C2, variable form taper equations of nonlinear regression and median regression.

    Figure  2.  Predicting ability of taper equation and taper equation based on median regression of Pinus sylvestris at different heights of the stem

    表  1  樟子松人工林各样木调查因子统计量

    Table  1.   Descriptive statistics for Pinus sylvestris sample trees

    分组 Group建模数据 Fitting data检验数据 Validation data
    样本数
    Sample number
    平均值
    Mean
    最小值
    Min.
    最大值
    Max.
    标准差
    Std.
    样本数
    Sample number
    平均值
    Mean
    最小值
    Min.
    最大值
    Max.
    标准差
    Std.
    胸径 Diameter at breast height/cm12428.5 18.636.63.253028.6 22 35 3.65
    树高 Tree height (THT)/m12417.9914.822.51.063018.4315.820.81.14
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    表  2  樟子松各削度方程的参数估计值

    Table  2.   Parameter estimates of taper models for Pinus sylvestris

    模型
    Model
    参数估计方法
    Parameter estimating method
    分位数
    Quantile (τ)
    a1a2a3a4a5a6a7
    Kozak
    (1969)
    非线性回归
    Nonlinear regression
    − 2.233 0 0.883 0
    分位数回归
    Quantile regression
    0.1 − 1.899 4 0.811 7
    0.2 − 1.844 1 0.732 4
    0.3 − 1.764 7 0.644 5
    0.4 − 1.688 6 0.567 0
    0.5 − 1.636 1 0.507 1
    0.6 − 1.668 3 0.508 9
    0.7 − 1.689 8 0.496 0
    0.8 − 1.782 7 0.524 9
    0.9 − 1.840 5 0.511 7
    Max-Burkhart
    (1976)
    非线性回归
    Nonlinear regression
    − 4.847 2 2.350 2 − 2.568 1 24.644 8 0.773 9 0.139 3
    分位数回归
    Quantile regression
    0.1 − 5.954 1 3.049 0 − 3.070 6 24.366 4 0.807 5 0.135 1
    0.2 − 5.238 6 2.619 5 − 2.591 6 24.090 9 0.803 4 0.130 8
    0.3 − 4.958 1 2.439 7 − 2.436 1 24.047 9 0.798 9 0.132 2
    0.4 − 5.493 2 2.698 7 − 2.750 8 24.264 8 0.813 9 0.133 3
    0.5 − 5.960 8 2.927 3 − 3.017 3 25.016 2 0.825 3 0.132 7
    0.6 − 6.324 9 3.092 5 − 3.232 9 25.080 0 0.835 0 0.134 9
    0.7 − 5.843 2 2.805 0 − 3.014 0 24.122 6 0.826 8 0.139 0
    0.8 − 5.025 1 2.302 8 − 2.418 7 44.775 9 0.837 5 0.108 4
    0.9 − 5.075 5 2.291 0 − 2.599 3 24.711 8 0.829 9 0.147 8
    Kozak
    (2004)
    非线性回归
    Nonlinear regression
    1.277 1 0.929 1 0.491 3 0.300 0 0.406 1 − 3.595 0 0.022 5
    分位数回归
    Quantile regression
    0.1 1.045 4 0.978 6 0.590 0 0.118 7 0.456 6 − 2.521 6 0.014 8
    0.2 1.046 0 0.981 4 0.541 8 − 0.107 2 0.445 6 − 1.326 0 0.016 7
    0.3 1.041 0 0.985 8 0.526 4 0.066 6 0.482 6 − 3.475 5 0.016 2
    0.4 1.038 0 0.988 5 0.498 9 0.029 2 0.428 5 − 2.351 7 0.019 5
    0.5 1.003 1 0.999 0 0.499 0 0.150 1 0.414 1 − 3.290 0 0.023 8
    0.6 1.005 2 0.999 5 0.477 2 0.131 9 0.367 5 − 2.655 1 0.030 6
    0.7 1.068 8 0.983 6 0.441 7 0.160 0 0.326 7 − 1.988 5 0.032 9
    0.8 1.046 0 0.992 5 0.416 9 0.358 5 0.315 6 − 3.079 0 0.034 0
    0.9 1.125 3 0.974 8 0.373 7 0.487 7 0.321 0 − 4.051 1 0.034 9
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    表  3  樟子松削度方程的拟合统计量

    Table  3.   Goodness-of-fit statistics of taper models for Pinus sylvestris

    模型 Model参数估计方法 Parameter estimating method分位数 Quantile (τ)MABMPBRMSER2
    Kozak (1969)非线性回归 Nonlinear regression1.628.221.950.95
    分位数回归 Quantile regression0.41.226.191.590.97
    0.51.206.101.570.97
    0.61.246.291.580.97
    Max-Burkhart (1976)非线性回归 Nonlinear regression0.874.411.150.98
    分位数回归 Quantile regression0.40.874.391.140.98
    0.50.864.381.140.98
    0.60.894.531.190.98
    Kozak (2004)非线性回归 Nonlinear regression0.984.321.120.98
    分位数回归 Quantile regression0.40.854.321.140.98
    0.50.834.211.110.98
    0.60.864.351.140.98
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    表  4  樟子松削度方程的独立性检验

    Table  4.   Validation statistics for taper models of Pinus sylvestris

    模型
    Model
    参数估计方法
    Parameter estimating method
    MABMPBRMSE
    Kozak
    (1969)
    非线性回归
    Nonlinear regression
    1.598.011.91
    中位数回归
    Median regression
    1.165.871.53
    Max-Burkhart
    (1976)
    非线性回归
    Nonlinear regression
    0.834.171.08
    中位数回归
    Median regression
    0.814.111.08
    Kozak
    (2004)
    非线性回归
    Nonlinear regression
    0.783.941.04
    中位数回归
    Median regression
    0.763.841.03
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    表  5  T检验统计结果

    Table  5.   Results of T-test

    模型 Model对比 ContrastTP
    Kozak (1969)非线性回归—中位数回归
    Nonlinear regression–
    Median regression
    17.37 < 0.000 1
    Max-Burkhart
    (1976)
    非线性回归—中位数回归
    Nonlinear regression–
    Median regression
    − 4.02 < 0.000 1
    Kozak (2004)非线性回归—中位数回归
    Nonlinear regression–
    Median regression
    − 0.02 0.985 3
    下载: 导出CSV
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-01-15
  • 修回日期:  2019-04-23
  • 网络出版日期:  2020-01-02
  • 刊出日期:  2020-03-03

利用分位数回归模拟人工樟子松树干干形

doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014
    基金项目:  国家自然科学基金(31570624),黑龙江省应用技术研究与开发计划项目(GA19C006)和中央高校基本科研业务费专项资金资助
    作者简介:

    辛士冬。主要研究方向:森林经理。Email:774933353@qq.com 地址:150040 黑龙江省哈尔滨市香坊区和兴路26号东北林业大学林学院

    通讯作者: 姜立春,教授,博士生导师。主要研究方向:森林经理。Email:jlichun@nefu.edu.cn 地址:同上
  • 中图分类号: S758.2

摘要: 目的采用非线性分位数回归方法构建樟子松树干削度方程,并对比分析9个分位数(τ = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9)模型和传统的非线性回归削度方程的预测精度。方法以七台河市林业局金沙林场154株人工樟子松干形数据为研究对象,选取简单削度方程、分段削度方程和可变指数削度方程,利用非线性回归和非线性分位数回归方法构建樟子松树干削度方程。采用确定系数(R2)、平均误差(MAB)、相对误差(MPB)、均方根误差(RMSE)为统计指标对构建的削度方程进行对比分析。结果(1)在9个分位点(τ = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9)下的各削度方程都可以收敛,分位数回归方法可以灵活预测各分位点树干曲线的变化。(2)与非线性回归相比,基于中位数(τ = 0.5)时的各削度方程在拟合过程中表现最好,其中以可变指数削度方程表现最优。(3)检验结果也表明:相对于非线性回归的各削度方程,基于中位数(τ = 0.5)的简单削度模型的MAB和MPB均下降26.7%,RMSE下降19.9%;基于中位数(τ = 0.5)的分段削度方程和可变指数方程预测能力较强。(4)中位数回归的各削度方程在树干大部分的预测能力都优于相应的非线性削度方程。结论分位数回归方法是一种稳健的建模方式,基于中位数(τ = 0.5)的可变指数削度方程的预测精度最高,适合该区域樟子松树干干形的预测。

English Abstract

辛士冬, 姜立春. 利用分位数回归模拟人工樟子松树干干形[J]. 北京林业大学学报, 2020, 42(2): 1-8. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014
引用本文: 辛士冬, 姜立春. 利用分位数回归模拟人工樟子松树干干形[J]. 北京林业大学学报, 2020, 42(2): 1-8. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014
Xin Shidong, Jiang Lichun. Modeling stem taper profile for Pinus sylvestris plantations using nonlinear quantile regression[J]. Journal of Beijing Forestry University, 2020, 42(2): 1-8. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014
Citation: Xin Shidong, Jiang Lichun. Modeling stem taper profile for Pinus sylvestris plantations using nonlinear quantile regression[J]. Journal of Beijing Forestry University, 2020, 42(2): 1-8. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190014
  • 树干干形模型通常也称为削度方程,削度方程能预测任意给定树干高度处的直径,估算全树干材积以及商品材积[1-4]。削度方程在近几十年的发展过程中已经成为林业生产必不可缺少的工具,并且在森林可持续经营与规划、评估森林出材率、林分生长与收获、木材优化等方面有着更为广泛的应用[5-7]

    在削度方程参数估计的发展过程中,非线性回归是最早、最常使用的一种参数估计方法[8-10],但其缺点在于非线性回归的统计推断需要很强的假设条件,如方差同质性、非共线性和无自相关等,这些强假设往往在实际应用中很难满足。虽然可以采用一些措施使模型满足假设条件,如异方差矫正和自回归消除等,但这也增加了模型构建的复杂性。如果削度方程能通过积分得到材积方程,可以构建削度和材积方程的联立方程组,利用似乎不相关回归的方法得到参数估计[11],但有些削度方程不满足积分条件。近年来,林业模型研究者为了同时得到总体预测和个体预测,还发展了具有固定效应和随机效应的非线性混合效应削度方程。混合效应模型总体预测相当于传统非线性回归模型的预测,但个体预测需要通过二次抽样校正随机参数来进行[12-14],在实际应用时限制了混合模型的应用。

    分位数回归理论和方法自Koenker和Bassett在1978年提出以来,得到了迅速发展和应用[15-17]。目前,分位数回归在国内外林业上已经得到了一定的应用[18-21]。分位数回归与传统回归方法相比,不仅得到了中位数回归的结果,还可以获得任意分位点的回归结果。分位数回归方法不要求数据的分布结构和模型的基本假设,并且不受数据中异常点和异方差的影响。樟子松(Pinus sylvestris)是东北地区主要速生用材树种,林木生长较快,材质好,适应性强,具备防护绿化与水土保持的能力,也可作为“三北”地区防护林及固沙造林的主要树种,对樟子松干形和材积进行精准预测具有重要意义。但目前在该地区还没有樟子松的树干削度方程。本文以人工樟子松为研究对象,采用3种类型的削度方程(简单、分段和可变指数削度方程),利用非线性分位数回归技术分别构建3种类型的非线性分位数回归削度方程,并与传统的最小二乘法得到的结果进行对比分析,为樟子松人工林干形的精准预测提供依据。

    • 数据来源于黑龙江省七台河市林业局金沙林场(45°44′ ~ 46°53′N,131°08′ ~ 131°21′E)。林场地处长白山系完达山脉那丹哈达岭西北端低山丘陵地带,地势为东南高、西北低,海拔高度180 ~ 391.9 m,平均坡度13°。气候类型属于中温带大陆性季风气候,昼夜温差较大。年降雨量530 ~ 550 mm,多集中在6—9月,年平均气温4.0 ℃,夏季相对其他地区较短,最高气温21.9 ℃,冬季较长,最低气温− 39 ℃,无霜期120 ~ 135 d。

      本文选取了不同林分的樟子松人工林样地,在树木伐倒之前,测量树高、胸径、冠幅、第一活枝高和第一死枝高。树木伐倒后,以1 m长的区分段进行干形测量,共收集了154株樟子松干形数据。将所收集的全部干形数据按80%和20%的比例分成建模和检验数据。樟子松人工林各样木测树因子统计量见表1

      表 1  樟子松人工林各样木调查因子统计量

      Table 1.  Descriptive statistics for Pinus sylvestris sample trees

      分组 Group建模数据 Fitting data检验数据 Validation data
      样本数
      Sample number
      平均值
      Mean
      最小值
      Min.
      最大值
      Max.
      标准差
      Std.
      样本数
      Sample number
      平均值
      Mean
      最小值
      Min.
      最大值
      Max.
      标准差
      Std.
      胸径 Diameter at breast height/cm12428.5 18.636.63.253028.6 22 35 3.65
      树高 Tree height (THT)/m12417.9914.822.51.063018.4315.820.81.14
    • 目前,削度方程按发展顺序大致可以分为3类,即简单削度方程、分段削度方程和可变指数方程。简单削度方程通过简单的数学函数来描述树干形状的变化[22];分段削度方程把树干的上部、中部和下部分别视为圆锥、抛物和凹面体[23],然后利用几个分段函数把各部分连接起来,进而描述树干的整体几何形状;可变指数削度方程由方程中变化的指数来描述干形的变化[8]。本文从这3类削度方程中各选择1个林业上常用的削度方程作为备选方程。由于Kozak (2004)模型拟合过程中2个参数不显著,因此删除这2个参数项。具体方程形式如下。

      Kozak(1969):

      $$y = {a_1}\left( {x - 1} \right) + {a_2}\left( {{x^2} - 1} \right) + \varepsilon $$ (1)

      Max-Burkhart(1976):

      $$y = {a_1}\left( {x - 1} \right) + {a_2}\left( {{x^2} - 1} \right) + {a_3}{\left( {{a_5} - x} \right)^2}{I_1} + {a_4}{\left( {{a_6} - x} \right)^2}{I_2} + \varepsilon $$ (2)

      Kozak(2004):

      $$d = {a_1}{D^{{a_2}}}{Z^{{a_3}{x^4} + {a_4}\left( {1/{e^{D/H}}} \right) + {a_5}{Z^{0.1}} + {a_6}\left( {1/D} \right) + {a_7}{H^Q}}} + \varepsilon $$ (3)

      式中:$y = {{{d^2}} / {{D^2}}}$$Z =[ {1 - {{\left( {h/H} \right)}^{1/3}}} ]/ ( {1 - {p^{1/3}}} )$$Q = 1 - $$ {{\left( {h/H} \right)}^{1/3}} $$p = 1.3/H$$d$为树干$h$高处的直径;D为胸径;$x = {h/ H}$H为全树高;$h$为从地面到所需位置的高度;当$x \leqslant {a_1}$时,${I_1} = 1$;当$x > {a_1}$时,${I_1} = 0$;当$x \leqslant {a_2}$时,${I_2} = 1$;当$x > {a_2}$时,${I_2} = 0$${a_1}$${a_2}$${a_3}$${a_4}$${a_5}$${a_6}$${a_7}$为待定参数;$\varepsilon $为模型的误差项。

    • 分位数回归是一种估计因变量完整的条件分布和评估不同分位数预测变量影响的方法,其参数估计的目的是使损失函数(4)的目标值($ L_{\min } $)达到最小化。

      $${L_{\min }} = \sum\limits_{y \geqslant {{\hat y}_\tau }} {\tau \left( {y - {{\hat y}_\tau }} \right)} + \sum\limits_{y < {{\hat y}_\tau }} {\left( {1 - \tau } \right)\left( {{{\hat y}_\tau } - y} \right)} $$ (4)

      式中:τ代表所要估计的分位数值,$ {\hat y}_\tau $为分位数处的估计值。

      在分位数τ = 0.5时的分位数回归又称为中位数回归。τ在(0, 1)区间内任意取值,模型参数和曲线趋势随着τ的变化各不相同。当损失函数(4)达到最小值时估算各分位数的回归系数。如τ = 0.7时,可以找到τ = 0.7位置的数据点,并建立线性规划模型。这一曲线将整个数据进行分割,曲线下方的数据量占总数据量的70%,则曲线上方数据量为1 − τ = 0.3,占总数据量的30%。本文以分位数τ = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9分别计算各削度方程的参数,具体采用SAS软件中的PROC NLP模块进行拟合[24]。基础削度方程利用SAS软件中的PROC MODEL过程进行拟合。由于干形的数据特征(存在空间相关性)不满足模型基本假设条件,因此在拟合过程中加入连续一阶自回归函数CAR(1)来消除自相关性[25]

    • 本文拟合结果采用平均绝对误差(MAB)、均方根误差(RMSE)、相对误差(MPB)和确定系数(R2)进行评价,检验结果采用平均绝对误差(MAB)、均方根误差(RMSE)和相对误差(MPB)进行评价。其相应的数学表达式为:

      $${\rm{MAB}} = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right|} }}{n}$$ (5)
      $${\rm{RMSE}} = \sqrt {\frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right)}^2}} }}{{{{n - 1}}}}} $$ (6)
      $${\rm{MPB}}= 100 \times \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right|} }}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} }}$$ (7)
      $${R^2} = 1 - {\frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right)}^2}} }}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - \bar y} \right)}^2}} }}} $$ (8)

      式中:${y_i}$为实测值,${\hat y_i}$为模型预估值,n为样本数,$\bar y$为实测值的均值。

    • 分位数回归具体采用9个不同的分位点(τ = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9),利用SAS软件的非线性规划PROC NLP模块对各分位数模型进行拟合,结果见表2。从表2可以看出,简单削度方程Kozak(1969)在9个分位点的参数估计有一定的规律,参数${a_1}$先增大后减小,参数${a_2}$先减小后增大。由于Max-Burkhart模型和Kozak(2004)模型参数较多,不同分位数的参数估计值并没有表现出一定的规律。与非线性回归相比,分位数回归可以更灵活地模拟树干干形变化趋势,由于其不受异常点的影响曲线的稳健程度更好。

      表 2  樟子松各削度方程的参数估计值

      Table 2.  Parameter estimates of taper models for Pinus sylvestris

      模型
      Model
      参数估计方法
      Parameter estimating method
      分位数
      Quantile (τ)
      a1a2a3a4a5a6a7
      Kozak
      (1969)
      非线性回归
      Nonlinear regression
      − 2.233 0 0.883 0
      分位数回归
      Quantile regression
      0.1 − 1.899 4 0.811 7
      0.2 − 1.844 1 0.732 4
      0.3 − 1.764 7 0.644 5
      0.4 − 1.688 6 0.567 0
      0.5 − 1.636 1 0.507 1
      0.6 − 1.668 3 0.508 9
      0.7 − 1.689 8 0.496 0
      0.8 − 1.782 7 0.524 9
      0.9 − 1.840 5 0.511 7
      Max-Burkhart
      (1976)
      非线性回归
      Nonlinear regression
      − 4.847 2 2.350 2 − 2.568 1 24.644 8 0.773 9 0.139 3
      分位数回归
      Quantile regression
      0.1 − 5.954 1 3.049 0 − 3.070 6 24.366 4 0.807 5 0.135 1
      0.2 − 5.238 6 2.619 5 − 2.591 6 24.090 9 0.803 4 0.130 8
      0.3 − 4.958 1 2.439 7 − 2.436 1 24.047 9 0.798 9 0.132 2
      0.4 − 5.493 2 2.698 7 − 2.750 8 24.264 8 0.813 9 0.133 3
      0.5 − 5.960 8 2.927 3 − 3.017 3 25.016 2 0.825 3 0.132 7
      0.6 − 6.324 9 3.092 5 − 3.232 9 25.080 0 0.835 0 0.134 9
      0.7 − 5.843 2 2.805 0 − 3.014 0 24.122 6 0.826 8 0.139 0
      0.8 − 5.025 1 2.302 8 − 2.418 7 44.775 9 0.837 5 0.108 4
      0.9 − 5.075 5 2.291 0 − 2.599 3 24.711 8 0.829 9 0.147 8
      Kozak
      (2004)
      非线性回归
      Nonlinear regression
      1.277 1 0.929 1 0.491 3 0.300 0 0.406 1 − 3.595 0 0.022 5
      分位数回归
      Quantile regression
      0.1 1.045 4 0.978 6 0.590 0 0.118 7 0.456 6 − 2.521 6 0.014 8
      0.2 1.046 0 0.981 4 0.541 8 − 0.107 2 0.445 6 − 1.326 0 0.016 7
      0.3 1.041 0 0.985 8 0.526 4 0.066 6 0.482 6 − 3.475 5 0.016 2
      0.4 1.038 0 0.988 5 0.498 9 0.029 2 0.428 5 − 2.351 7 0.019 5
      0.5 1.003 1 0.999 0 0.499 0 0.150 1 0.414 1 − 3.290 0 0.023 8
      0.6 1.005 2 0.999 5 0.477 2 0.131 9 0.367 5 − 2.655 1 0.030 6
      0.7 1.068 8 0.983 6 0.441 7 0.160 0 0.326 7 − 1.988 5 0.032 9
      0.8 1.046 0 0.992 5 0.416 9 0.358 5 0.315 6 − 3.079 0 0.034 0
      0.9 1.125 3 0.974 8 0.373 7 0.487 7 0.321 0 − 4.051 1 0.034 9
    • 利用表2各削度方程的参数估计值,分别计算基础削度方程和各分位数削度方程的统计量,即平均误差(MAB)、相对误差(MPB)、均方根误差(RMSE)和确定系数(R2)。由于每个削度方程的分位数回归结果都是在分位点τ = 0.4,0.5,0.6的拟合效果最好,所以将其评价指标列于表3。对于简单Kozak(1969)削度方程,在分位点τ = 0.4,0.5,0.6处简单削度方程的各评价指标均优于相应非线性回归方程,与非线性回归相比,中位数(τ = 0.5)的简单削度方程的MAB和MPB均下降25.7%、RMSE下降19.2%。基于分位点τ = 0.4,0.5,0.6处的Max-Burkhart(1976)分段削度方程、Kozak(2004)可变指数削度方程与相应的非线性回归的削度方程各评价指标非常接近,但是在分位点τ = 0.4,0.5处的分段削度方程略优于相应的非线性回归的分段削度方程,在分位点τ = 0.5处的可变指数削度方程略优于相应的非线性回归的可变指数削度方程。中位数(τ = 0.5)的可变指数削度方程在拟合过程中表现最优,其各评价指标均优于中位数简单削度方程和中位数分段削度方程和非线性回归的各削度方程。

      表 3  樟子松削度方程的拟合统计量

      Table 3.  Goodness-of-fit statistics of taper models for Pinus sylvestris

      模型 Model参数估计方法 Parameter estimating method分位数 Quantile (τ)MABMPBRMSER2
      Kozak (1969)非线性回归 Nonlinear regression1.628.221.950.95
      分位数回归 Quantile regression0.41.226.191.590.97
      0.51.206.101.570.97
      0.61.246.291.580.97
      Max-Burkhart (1976)非线性回归 Nonlinear regression0.874.411.150.98
      分位数回归 Quantile regression0.40.874.391.140.98
      0.50.864.381.140.98
      0.60.894.531.190.98
      Kozak (2004)非线性回归 Nonlinear regression0.984.321.120.98
      分位数回归 Quantile regression0.40.854.321.140.98
      0.50.834.211.110.98
      0.60.864.351.140.98
    • 以Max-Burkhart分段削度方程为例,利用分段削度方程的参数估计值和拟合数据,模拟了樟子松的树干曲线变化。图1可以直观地反映出各分位数处树干形状的变化,其模拟了非线性回归的分段削度方程、基于中位数(τ = 0.5)的分段削度方程、3个分位数(τ = 0.4,0.5,0.6)以及9个分位数(τ = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9)的樟子松干形变化。非线性回归方法(图1 A1)和基于分位数(τ = 0.4,0.5,0.6)回归方法(图1 A2、A3)的模拟曲线相似,都可以较好地模拟树干的形状变化。由图1中的A4可以看出,基于分位数回归方法,9个分位点的削度方程可以涵盖的数据范围更大,提供的信息也更加丰富。无论是在数据的中间还是数据的边缘,利用分位数回归的方法都可以进行模拟,体现了分位数回归方法较强的灵活性。

      图  1  樟子松树干干形曲线模拟

      Figure 1.  Stem taper curve simulation of Pinus sylvestris

    • 利用未参加建模的30株樟子松干形数据,基于表2的参数估计值,采用SAS软件计算各削度方程和基于分位数回归的各削度方程的平均误差(MAB)、相对误差(MPB)和均方根误差(RMSE)的统计量(表4)。由表4可以看出:中位数简单削度方程明显优于非线性回归的简单削度方程;中位数分段削度方程和中位数可变指数削度方程的预测能力略优于相应的非线性削度方程,并且中位数可变指数模型表现最佳,这与模型拟合结果基本一致。

      表 4  樟子松削度方程的独立性检验

      Table 4.  Validation statistics for taper models of Pinus sylvestris

      模型
      Model
      参数估计方法
      Parameter estimating method
      MABMPBRMSE
      Kozak
      (1969)
      非线性回归
      Nonlinear regression
      1.598.011.91
      中位数回归
      Median regression
      1.165.871.53
      Max-Burkhart
      (1976)
      非线性回归
      Nonlinear regression
      0.834.171.08
      中位数回归
      Median regression
      0.814.111.08
      Kozak
      (2004)
      非线性回归
      Nonlinear regression
      0.783.941.04
      中位数回归
      Median regression
      0.763.841.03

      为了更深层次分析削度方程在树干不同高度的预测能力,以表2的参数估计值和樟子松检验数据,计算非线性回归削度方程和中位数削度方程在树干不同高度位置的均方根误差(RMSE)和平均误差(MAB),具体比较各非线性模型及其相应的中位数模型,结果见图2。可以看出,简单中位数削度方程在相对高0% ~ 50%、70% ~ 80%的MAB和RMSE明显优于简单非线性削度方程;在相对高50% ~ 60%和80%以上,简单中位数削度方程的MAB和RMSE略高;除了在相对高80% ~ 90%以外,中位数分段削度方程都表现了较好的预测能力。可变指数中位数削度方程在树干大部分的预测能力都略优于相应的非线性可变指数削度方程。

      图  2  樟子松削度方程和中位数削度方程在树干不同高度处的预测能力

      Figure 2.  Predicting ability of taper equation and taper equation based on median regression of Pinus sylvestris at different heights of the stem

      利用樟子松检验数据,分别计算各非线性回归削度方程和相应中位数(τ = 0.5)削度方程的预测值;利用SAS软件分别对各分组的预测值进行T检验。由表5可以看出,对于简单削度方程和分段削度方程,非线性回归模型的预测值和中位数回归模型的预测值都有显著差异;而对于可变指数削度方程,非线性回归模型和中位数回归模型的预测值没有显著差异。

      表 5  T检验统计结果

      Table 5.  Results of T-test

      模型 Model对比 ContrastTP
      Kozak (1969)非线性回归—中位数回归
      Nonlinear regression–
      Median regression
      17.37 < 0.000 1
      Max-Burkhart
      (1976)
      非线性回归—中位数回归
      Nonlinear regression–
      Median regression
      − 4.02 < 0.000 1
      Kozak (2004)非线性回归—中位数回归
      Nonlinear regression–
      Median regression
      − 0.02 0.985 3
    • (1)由于樟子松的干形受树根和树冠效应的影响,树干形状在上部和下部变化较大,这符合树木干形变化的一般规律。一些研究[26-28]表明,简单削度方程不能准确描述整个树干的干形变化,但带有拐点的分段削度方程和可变指数削度方程能够适应树干上部和下部的形状变化,进而对树干不同高度处的干形变化给出较准确的预测,这与本文研究的樟子松干形变化规律基本一致。

      (2)在林业上,分位数回归方法已经得到了广泛应用,如树高曲线模拟[21, 29]、森林病虫害预测[30]、单木和林分生长模拟[31]、最大密度线模型[18, 20]、径阶分布以及生态学的相关研究[16, 32]。目前,分位数回归方法在国内应用较少,尤其是非线性分位数回归。由于林业数据的异质性和空间相关性的特点,传统的回归分析很难满足这些假设条件,使得参数模型在应用时受到一定的限制。此外,一旦模型假设条件不能满足,模型的参数估计值就会有偏差,进而导致模型的预测出现偏差。

      (3)本研究选取削度方程的3种类型,即简单削度方程、分段削度方程和可变指数削度方程,利用非线性分位数回归的方法分别构建了樟子松9个分位数(τ = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9)的削度方程。研究结果表明,与非线性回归的各削度方程相比,基于中位数(τ = 0.5)的各削度方程的拟合和检验结果更好,其中基于中位数(τ = 0.5)的可变指数削度方程的各评价指标最低。

      (4)虽然从本研究的结果可以看出,可变指数Kozak(2004)削度方程优于分段Max-Burkhart(1976)削度方程,但我们也应该注意到,可变指数削度方程不能直接积分计算材积和商品材积,必须采用其他方法,如数值积分和重叠方法;而分段削度方程Max-Burkhart(1976)可以分别直接推导出材积和树干不同高度的方程[33],进而能够预测总材积和商品材积,因此在具体应用时可根据实际情况考虑。

参考文献 (33)

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