对机构进行软件层面的补偿控制是提高机械加工准确性快速且有效的方法。国内外学者在误差补偿控制的研究中已取得了一定的成果，如朱城伟等^[1]设计出SMC-PID控制器，有效降低机构误差；柴保明等^[2]对3TPT并联机构建立误差模型并对模型研究提出一种误差补偿方法；Ni等^[3]利用一阶摄动建立了误差矩阵对三自由度并联机械手实现机构补偿控制；秦海宁等^[4]对3-PRR并联机构的误差进行了定性分析，建立了误差测量实验平台，进行了误差消除试验，提出补偿控制方法；Vinoth等^[5]针对自己设计的三自由度平面并联机构建立了基于EKF的间接自适应补偿控制；Castillo-Castaneda等^[6]对一种6-DOF并联机构设计了基于PMAC运动控制器的轨迹误差补偿算法；夏筱筠等^[7]运用双模糊控制算法对数控机床过象限误差进行补偿；彭志文等^[8]提出了基于计算力矩控制的RBF神经网络在线补偿控制策略；Behrad等^[9]研究出一种新型自适应在线神经网络补偿器应用于气动龙门机器人的位置控制中；Niu等^[10]研究了平面二自由度五杆运动副背隙误差，并建立了误差模型和控制策略；Si等^[11]提出了一种迭代补偿策略，减小五轴侧铣薄壁件时刀具或工件形变引起的误差；Schneider等^[12]提出了一种三维压电补偿控制单元以及匹配的控制算法用以补偿机器人加工系统的加工精度。

为实现木工板材曲线锯切，模仿人工送料研发机械装置代替人工，本文提出一种新型五自由度送料平台。相较于现有木工曲线锯切^[13]，该平台避免了锯转动、工件插补运动时锯条承受转矩过大的问题。送料机构由三自由度并联机构和十字滑台串联而成，一方面，虽然许多专家对相关类型三自由度并联机构的控制提出了补偿策略，但已有研究成果均具有局限性，并不适用于本文提出的机构；另一方面，送料平台的误差模型较难建立，且不具备可移植性。为满足木材板料的精确加工要求，实现木工带锯机的精确送料，需要分析送料平台误差来源，建立补偿控制策略。平台姿态的准确性直接决定了木工板料锯切的质量，因此分析机构的误差来源，消除传动误差的影响，保证瞬时姿态的准确性，建立补偿控制策略是必要的。

1.   送料平台动力学解析

建立机构的数学模型，求解传递函数是动力学解析的关键。为简化建模对机构作如下假设：其一，各个杆件的质量均匀分布，约束为理想约束；其二，忽略杆件弹性变形和对机构产生负面影响的摩擦力；其三，杆件的质量集中于杆件质心。

1.1   送料平台的逆解建模

如图1所示，送料平台为五自由度混联机构，其角度调节机构底座下方为十字丝杠传动模组X-Y，Y轴一边为丝杠传动模组，另一边为起辅助支撑作用的光杆；角度调节机构底座上方平行固定3组角度调节丝杠传动模组D、E、F，各自螺母与连杆铰接，三连杆又分别与夹具铰接。为求解各电机补偿控制输入量，建立其逆解数学模型。对机构进行分析，以支链D（丝杠传动模组D所在运动传动链，简称支链D，下同）为例，分析几何模型如图2所示。

图  1  一种送料平台结构示意图

D、E、F、M、N为丝杠传动组；L_D、L_E、L_F为连杆；O_j为等效锯切点；l₁、l₂为丝杠长度；l₅为连杆L_E和夹具铰接点与丝杠E的距离；a为丝杠间距；b为相邻铰接点间距；h为Y向丝杠M与光杆间距；θ'为夹具结构角；θ₃₁为丝杠D和连杆L_D夹角；θ₃₂为丝杠E和连杆L_E夹角；θ₃₃为丝杠F和连杆L_F夹角。D, E, F, M and N are screw drive modules，L_D, L_E and L_F are connecting-rods，O_j is equivalent sawing point, l₁ and l₂ are length of screw，l₅ is distance from joint that clamp and rod L_E to screw E，a is distance between adjacent screw，b is the distance between adjacent joint，h is distance between screw M and polish rod of direction Y，θ' is structural angle of clamp，θ₃₁ is included angle between screw D and rod L_D，θ₃₂ is included angle between screw E and rod L_E，θ₃₃ is included angle between screw F and rod L_F.

Figure  1.  Diagrammatic sketch of feeding platform

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图  2  支链D结构解析图

O_jX_jY_j为等效锯切点坐标系；l_D4为螺母D初始位置到等效锯切点距离；θ为夹具转角；β为d和e夹角；d为连杆L_D和夹具的铰接点与等效锯切点间距离；e为夹具底边中心点与等效锯切点间距离；y_D为螺母D初始位置到丝杠D右侧的距离；L_D为连杆。O_jX_jY_j is coordinate system of equivalent sawing point，l_D4 is distance from nut D initial position to equivalent sawing point，θ is rotation angle of clamp，β is include angle of d and e，d is distance from joint of rod L_D and clamp to equivalent sawing point，e is distance from center point of clamp’s bottom line to equivalent sawing point，y_D is distance from nut D initial position to right of screw D，L_D is connection-rod.

Figure  2.  Analysis of branched chain D

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假设锯切轨迹曲线为$y = f(x)$，则某一时刻等效锯切点坐标为$({x_0},f({x_0}))$，各轴螺母的相对位移量l_x、l_y、l_D、l_E和l_F可运用多次正余弦定理求得，求解如式（1），式（1）中与机构动态相关的变量θ、β、e、d和L₅求解如式（2）。

式中：l_D4、l_E4和l_F4分别为螺母D（丝杠传动模组D的螺母，简称螺母D，下同）、螺母E和螺母F初始位置到等效锯切点间距（单位：mm）；l_D、l_E和l_F分别为连杆L_D、L_E和L_F杆长（单位：mm）；l₅为连杆L_E和夹具铰接点与丝杠E的距离（单位：mm）；a为并联机构相邻丝杠间距离（单位：mm）；d为连杆L_D和夹具的铰接点与等效锯切点间距离；e为夹具底边中心点与等效锯切点间距离（单位：mm）；b为相邻铰接点间距（单位：mm）；θ为夹具转角（单位：rad）；β为d和e夹角（单位：rad）。

式中：$\theta '$为夹具结构角（单位：rad）；f₁（θ）为拟合曲线，拟合数据见表1；b为相邻铰接点间距（单位：mm）。

表  1  夹具转角$\theta$与l₅关系

Table  1.  Relationship about rotation angle θ of clamp and l₅

θ/rad	0.506	0.454	0.401	0.367	0.349	0.331	0.314	0.297
${l_5}$/mm	147	138	134	123	123	117	110	104
θ/rad	0.262	0.244	0.227	0.209	0.175	0.140	0.122
${l_5}$/mm	99	95	85	76	65	48	30

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1.2   送料平台的拉格朗日方程

送料平台各杆件只有绕Z轴的旋转，没有平移，为完整有势系统，其拉格朗日方程可简化为式（3）。定义机构中5个螺母的位移为广义坐标，即${q_1} = {l_x},$${q_2} = {l_y},{q_3} = {l_{\rm{D}}},{q_4} = {l_{\rm{E}}},{q_5} = {l_{\rm{F}}}$。

式中：T为系统动能（单位：J）；${ Q_\alpha }$为输入广义驱动力矩矢量和（单位：N·mm）；${q_\alpha }$为广义坐标。

求解各杆件转动惯量如式（4）所示：

式中：J_s为丝杠转动惯量（单位：kg·m²）；J_l为连杆转动惯量（单位：kg·m²）；J_j为夹具转动惯量（单位：kg·m²）；m为夹具质量，m_s为丝杠质量，m_l为连杆质量（单位：kg）；$\phi$为直径（单位：mm）；l为杆长（单位：mm）；h、w分别为夹具长、宽（单位：mm）；${l_{\rm{d}}}$为夹具转动中心到夹具型心距离（单位：mm）。

支链D、E、F中连杆与丝杠的夹角分别为θ₃₁、θ₃₂和θ₃₃，其值如式（5）：

式中：γ为初始状态时支链D中连杆与丝杠夹角（单位：rad）。

设夹具质地均匀，几何相对质心坐标为$({l_5},{l_{{\rm{D}}4}} -$${l_{\rm{E}}} \cos {\theta _{32}})$，转角$\theta = {\rm{arctan[}}{l_5}{\rm{/(}}{l_{{\rm{D}}4}}{\rm{ - }}$${l_{\rm{E}}} \cos {\theta _{32}}{\rm{)]}}$，所以机构的动能为$T = {T_{\rm{s}}} + {T_{\rm{m}}} + {T_{\rm{l}}} + {T_{\rm{j}}}$，其中${T_{\rm{s}}}$为所有丝杠总动能（单位：J）；${T_{\rm{m}}}$为所有螺母总动能（单位：J），${T_{\rm{l}}}$为3个连杆总动能（单位：J），${T_{\rm{j}}}$为夹具和被加工件动能（单位：J）。其值如式（6）所示：

式中：P_α为丝杠的导程（单位：mm）；q_α为螺母相对位移量（单位：mm）；连杆动能系数${k_1} =$$\sqrt {{l_{\rm{D}}}^2 - {{\left( {{l_{\rm{D}}}\; \cos \gamma - {q_3}} \right)}^2}}$，${k_2} = \sqrt {{l_{\rm{E}}}^2 - {{\left( {{l_{\rm{E}}} - {q_4}} \right)}^2}}$，${k_3} =$$\sqrt {{l_{\rm{F}}}^2 - {{\left( {{l_{\rm{F}}}\; \cos \gamma - {q_5}} \right)}^2}}$，${k_4} = {l_{{\rm{D}}4}} - {l_{\rm{E}}} + {q_4}$。

对机构总动能求导得：

将式（7）、（8）带入式（3）得送料平台转角与各丝杠进给量之间的关系式：

于是机构转角与广义坐标的关系式可以表示为式（10）：

1.3   送料平台误差分析与建模

送料平台位移瞬态的准确性，取决于各传动件瞬态位置的准确性，运用ADAMS解算送料平台模型，测量连杆长度随时间变化的关系，并结合虚功原理求解连杆误差模型；测量螺母的移动规律，分析丝杠的传动误差。

1.4   连杆形变引起的误差分析

如图3所示，L_D、L_E、L_F支链连杆（依次为Rod-1、Rod-2、Rod-3）在运动起始阶段杆长变化频繁，出现反复拉压的现象，但经过0.15 s后归于稳定。杆件伸缩量均不超过2.5 mm，属于微小变形。假设伸缩量在[− 2 mm，2 mm]之间变化，测量形变对送料平台末端姿态的变化影响如图4所示，其中Rod-1、Rod-3的误差仅在局部时间段内使平台末端轨迹偏离理想曲线，而Rod-2误差的影响覆盖了末端轨迹全程。但不难发现，杆的伸缩量与末端轨迹误差呈线性关系。

图  3  L_D、L_E、L_F连杆伸缩−时间曲线图

Figure  3.  Graphs between time and connecting-rod L_D, L_E, L_F

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图  4  角度调节机构各连杆形变对末端姿态的影响曲线

Figure  4.  The curve effected to end posture from deformation of each connect-rod of angle adjusting mechanism

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为了消除连杆形变对末端姿态的影响，依据虚功原理对连杆与夹具组成系统进行解析。已知3个连杆与夹具共18个坐标分量，15个约束，定义广义坐标分别为${\theta _{31}}$、${\theta _{32}}$、${\theta _{33}}$，列受力平衡方程式求解得式（11）。

式中：${F_{\rm{D}}}$、${F_{\rm{E}}}$、${F_{\rm{F}}}$分别为连杆L_D、L_E、L_F所受外力（单位：N）；${J_{{\rm{L}}1}}$、${J_{{\rm{L}}2}}$、${J_{{\rm{L}}3}}$分别为连杆L_D、L_E、L_F的转动惯量（单位：kg·m²）；${J_{\rm{j}}}$为夹具和板料转动惯量（单位：kg·m²）。

连杆变形引起的机构末端姿态误差等于连杆伸长量在丝杠方向的投影长度，求其误差得式（12），可看出连杆引起的误差与时间无关。

式中：${e_{{\rm{LD}}}}$、${e_{{\rm{LE}}}}$、${e_{{\rm{LF}}}}$分别为连杆L_D、L_E、L_F形变引起的误差（单位：mm）；l_DS、l_ES、l_FS分别为连杆L_D、L_E和L_F的形变量（单位：mm）。

1.5   丝杠螺母模组误差分析

假设螺母位移误差绝对值小于0.5 mm，分析该误差对连杆转角影响如图5（其中支链D、E和F的丝杠简称为丝杠D、丝杠E和丝杠F），图5a、5b、5c依次为丝杠D、丝杠E、丝杠F的螺母位移误差对连杆转角的影响。很明显较小的位移便能产生较大的转角误差，甚至影响连杆转向，而连杆转角直接影响了末端姿态。依据文献[14]对关节转角误差的分析，考虑到螺旋传动受背隙、摩擦等影响，很难建立一个准确的数学模型，因此为每组丝杠安装尺光栅传感器，用以反馈螺母位置信息，用l_s表示，伺服电机自带编码盘作为其位置检测装置，角度用γ表示。于是，丝杠螺母的误差可以表示为${e_{{\rm{s}}\alpha }} = {l_{\rm{s}}} - {\gamma _\alpha } {P_\alpha }/2\pi ,$$\left( {\alpha = 1,2, 3,4,5} \right)$。

图  5  丝杠传动误差对连杆转角的影响曲线

Figure  5.  Curves effected to angle of joint rotation from transfer motion error of screw

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2.   送料平台补偿控制及其仿真分析

设计单神经元PID算法对各支链进行控制层面的误差补偿。为验证该方法的可行性，运用MATLAB和ADAMS仿真进行分析和检验。

2.1   控制器设计

应用PID算法对送料平台的各误差进行补偿，是一种有效的方法。但在变输入参数的模型中误差较大，于是引入神经网络算法对PID各系数进行实时调节，以提高PID控制精度。算法结构如图6。

图  6  支链D单神经元PID控制器方案

y_i. 输入信号Input signal；y_d. 输出信号Output signal；k_p. 比例系数Scale factor；k_i. 积分系数Integral factor；k_d. 微分系数Differential factor；e. 误差Error；u. 补偿后输入信号Input signal after compensation；f. 干扰信号Disturb signal

Figure  6.  Control strategy of SN-PID of branch D

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依据电机的驱动形式，选用增量式PID控制器，设计单神经元PID，补偿后输入量u可表示为式（13）。

式中：${k_{\rm{p}}}$、${k_{\rm{i}}}$、${k_{\rm{d}}}$分别为比例、积分和微分系数；$e(k)$为误差，$e(k)={y_{\rm{i}}} - {y_{\rm{d}}}$，其中y_i和y_d分别为控制系统的输入和输出量。

RBF神经网络结构采用三层前向网络。第一层为丝杠位移误差矩阵，即 ${{X}}{\rm{ = [}}{{{e}}_{\alpha} }{{\rm{]}}^T},(\alpha = 1,2, 3,4, 5)$；第二层为隐含层，径向基函数为${{H}} = {[{h_{\alpha}}]^T}$，其中${h_{\alpha}}$为高斯基函数，${h_{\alpha}} = g(\left\| {{{X}} - {{{C}}_{\alpha}}} \right\|/{b_{\alpha}}^2)$，${{{C}}_{\alpha}} = [{c_{{\alpha}1}},{c_{{\alpha}2}}, \cdots, {c_{{\alpha}m}}]$表示网络节点α的高斯基函数中心点，${{b}} = [{b_1},{b_2}, \cdots,$${b_m}]$表示某个节点的高斯基函数宽度；第三层为输出层，${{{K}}_\alpha } = [{k_{{\rm{p}}\alpha }},{k_{{\rm{i}}\alpha }},{k_{{\rm{d}}\alpha }}]$，由于PID的3个系数具有不确定性，设不确定项 ${f_\alpha }(x) = {{{W}}_\alpha }^T{{{K}}_\alpha }(x) + {\varepsilon _\alpha }$，其中W为神经网络权值，${{{W}}_\alpha } = {[{W_{\alpha 1}},{W_{\alpha 2}}, \cdots,{W_{\alpha m}}]^T}$，其中α = 1，2，3，4，5，$\varepsilon$为神经网络逼近误差。所以神经网络的输出为 ${\bar f_\alpha }(x) =$${{{W}}_\alpha }^T{h_\alpha }(x)$，其中${\bar f_\alpha }(x)$为不确定项${f_\alpha }(x)$的神经网络系统代替值。

采用RBF对PID的参数进行训练时，其误差指标按式（14）进行对比。根据梯度下降法，神经网络权值按式（15）、（16）调节。

式中：y_i为输入信号；t为时间；y_d为输出信号；E为误差。

式中：w_i为神经网络；权值$\eta \in (0,1)$为学习速率；h_α为径向基函数。

式中：$\lambda \in (0,1)$为动量因子。

2.2   Simulink模型搭建

5个电机的驱动函数由Matlab实时计算，经补偿算法在线修正后输出。在Adams中设置输入变量为丝杠位移量，具体数值由补偿算法实时求解。设置输出变量，即螺母实际位移和夹具转角，输出变量为反馈量，与机构反解位移作比对，差值由神经网络PID控制调节整定并存储在error中。在Simulink中建立控制模型如图7所示，PID的各系数由RBF神经网络在线调节，实现送料平台的精确运动，x，y，l_D，l_E，l_F为运动模型的初始输入量，由逆解计算得出。

图  7  Matlab与Adams联合仿真Simulink模型

error_x、error_y、error_1、error_2和error_3为各螺母位移误差；x、y、l_D、l_E和l_F为各螺母输入位移；output_x、output_y、output_1、output_2和output_3为各螺母输出位移；output_j为夹具输出转角。error_x, error_y, error_1, error_2 and error_3 are errors of displacement of each nut. x, y, l_D, l_E and l_F are input displacement of each nut. output_x, output_y, output_1, output_2 and output_3 are output displacement of each nut. output_j is rotation angle of clamp.

Figure  7.  Simulink model for simulation through Matlab and Adams

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2.3   送料平台补偿控制仿真

假设板材加工轨迹可表示为曲线${{y}} = 15\cos (0.1x),$为了验证补偿控制的可行性，运用Matlab和Adams联合仿真的方法求解机构各输入、输出曲线。补偿后各螺母位移−时间关系曲线如图8所示，可以看出各位移都在预设行程内。补偿前后，板材加工轨迹曲线如图9所示。从图9中可以看出：经补偿控制后加工轨迹曲线与指令曲线在X、Y方向最大偏移量不超过1.5 mm。计算其转角误差不大于1.5°，而补偿控制前该偏移量最大为3 mm，角度误差达4.8°。在部分区段，对加工轨迹曲线补偿后，可与指令曲线重合。其中，锯切轨迹在曲线顶峰和低谷区间的误差较大。这是由于在这一曲线段及其类似部分，为使锯与板料达到相切的目的，需要机构夹具的转角达到90°，即夹具需与X轴所在直线垂直。然而机构自身的结构决定该转角无法达到90°，于是锯切该范围曲线时，只能做到近似相切，补偿后，误差虽然较大，但已能满足木工加工精度要求。

图  8  各轴螺母补偿后位移曲线

Figure  8.  Curves of each screw nut’s displacement after compensation

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图  9  夹具上一点运动轨迹

Figure  9.  The trajectory of one point on the clamp

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3.   试验验证

选用实心细木工板（大芯板）作为试验对象，板材规格为500 mm × 300 mm × 12 mm，采用带锯对其进行锯切试验，带锯机选用MJ344，锯条规格为3 035 mm × 27 mm × 0.9 mm × R4/3。图10a为送料平台样机，其中a = 240 mm，b = 190 mm，L_D4 = 240 mm，L_E4 = 335 mm，L_F4 = 240 mm，c = 300 mm。各丝杠螺距皆为5 mm，L₁ = 300 mm，L₂ = 550 mm。电机转速ɷ = 30 r/min。送料平台初始位置如图10a所示。测量并绘制锯切轨迹曲线图10b，与指令函数对比可知其最大误差不超过1.5 mm，与仿真结果一致。

图  10  送料平台试验样机及加工轨迹曲线

Figure  10.  Model machine of feeding platform and the curve of trajectory

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4.   结　　论

为提高送料平台末端姿态精度，本文按照拉格朗日法与虚功原理建立机构传递函数，通过对机构进行动力学仿真，分析机构误差来源以及各误差对平台末端姿态准确性的影响，建立相应的误差模型。设计了一种单神经元PID控制算法对平台各驱动位移进行在线补偿。通过仿真分析的方法验证了补偿策略的可行性，并用该方法对试验台进行补偿控制试验，结果表明：文中设计的单神经元PID补偿控制可有效提高送料平台末端姿态的准确性，使其轨迹在X、Y方向的偏移误差从补偿前的3 mm，降至小于等于1.5 mm，倾斜角误差从补偿前的3.5°降低至1.5°，该误差在木材加工领域属于允许范围。说明文中设计的单神经元PID补偿控制可以提高送料平台送料精准度，为送料平台在木材加工机床的使用方面提供了一种实用的补偿控制方法。