基于联立方程组的人工樟子松枝下高模型构建

李想; 董利虎; 李凤日

doi:10.13332/j.1000-1522.20170428

基于联立方程组的人工樟子松枝下高模型构建

东北林业大学林学院，黑龙江哈尔滨 150040

基金项目:

国家自然科学基金项目 31570626

详细信息

作者简介:
李想。主要研究方向：林分生长模型。Email：lx0326999@163.com 地址：150040 黑龙江省哈尔滨市香坊区和兴路26号东北林业大学林学院

责任作者:
李凤日，教授。主要研究方向：林分生长模型。Email：fengrili@126.com 地址：同上

中图分类号: S758.5
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出版历程
- 收稿日期: 2017-11-28
- 修回日期: 2018-04-16
- 发布日期: 2018-05-31

Building height to crown base models for Mongolian pine plantation based on simultaneous equations in Heilongjiang Province of northeastern China

School of Forestry, Northeast Forestry University, Harbin 150040, Heilongjiang, China

摘要

摘要:
目的基于黑龙江省帽儿山实验林场、横头山林场、孟家岗林场的61块樟子松人工林固定样地的5211株样木调查数据，构建了树高模型与枝下高模型的联立方程组。
方法首先，从8种常用的标准树高曲线，选出拟合效果较好的2个模型作为树高曲线的备选模型。再以5个枝下高预估模型作为基础模型，通过引入林木及林分变量(林木大小，竞争因子，立地条件)采用最优子集回归法筛选出3个变量少且拟合效果较好的模型作为枝下高备选模型。将树高曲线备选模型与枝下高备选模型分别两两联立，建立树高与枝下高联立方程组模型，采用似乎不相关回归(SUR)对模型参数进行求解。最后，对联立方程组进行评价。
结果树高(H)和枝下高(HCB)与林分断面积(G)和优势木平均高(H₀)呈正相关。最优的联立方程组预估树高时调整后相关系数(R_a²)为0.9520，均方根误差(RMSE)为1.17m；预估枝下高时的R_a²为0.9066，RMSE为1.36m，并且模型的各项检验指标数值较小。
结论整体来看，联立方程组的拟合效果较好，预估精度较高，同时联立方程组解决了树高与枝下高的内在相关性问题。本文所建立的含林分因子的树高模型与枝下高模型联立方程组可以很好地预估不同林分条件下樟子松人工林的树高和枝下高，为进一步研究樟子松树冠结构和动态提供了基础。
- 樟子松人工林 /
- 树高曲线 /
- 枝下高 /
- 似乎不相关回归 /
- 联立方程组
Abstract:
ObjectiveBased on the data of 5211 sample trees in 61 permanent sample plots in Mongolian pine plantations from Maoershan Experimental Forest Farm, Hengtoushan Forest Farm, Mengjiagang Forest Farm in Heilongjiang Province of northeastern China, the simultaneous equations for tree height model and height to crown base model were developed.
MethodAt first, 2 alternative height-diameter models had been selected by comparing the goodness of fit for 8 height-diameter models. From 5 basic height to crown base(HCB)models, 3 best HCB models including tree and stand variables (tree size, competition index, site condition) were selected as alternative models using the method of all subset regression. Based on the seeming unrelated regression (SUR), the parameters of the simultaneous equations model of height and HCB were estimated considering each kind of combinations for 2 alternative height-diameter models and 3 alternative HCB models, respectively. Finally, we evaluated the fitting effect of the simultaneous equation model.
ResultThe results showed that H and HCB were positively correlated with basal area (G) and average height of dominant tree (H₀). For the best simultaneous equations, the coefficient determination (R_a²) was 0.9520 and the root-mean-square error (RMSE) was 1.17m by fitting height (H), the R_a² was 0.9066, and RMSE was 1.36m by fitting HCB. The validation values of the best simultaneous equations were smaller.
ConclusionOn the whole, the simultaneous equations developed performed well in predicting the tree H and HCB simultaneously with the least predicting errors, and the model could handle correlations between tree H and HCB. The simultaneous equations considering stand variables developed in this paper could be suitable for predicting H and HCB for Mongolian pine plantations with different stand conditions and it will provide basis for future research on the crown structure and dynamics.
- Mongolian pine (Pinus sylvestris var. mogolica) plantation /
- tree height curve /
- height to crown base /
- seeming unrelated regression (SUR) /
- simultaneous equations

HTML全文

冠长率(CR)是指树冠的长度与树高的比率，它既是衡量树冠大小的数量指标，同时又是影响树木生长的重要因素^[1-2]。冠长率是森林生长收获预估模型、干形模型的重要预测变量，对评价树干的木材质量和商业价值具有重要作用^[3-4]。

为了计算或估算冠长率，通常需要准确测量枝下高(HCB)或冠长(CL)^{[1, 5]}。然而，在密度较大或冠层较多的林分中，测量树木枝下高和冠长是非常困难的，需要大量的人力、物力和财力^[6-7]。因此，冠长率测量经常受到一定的限制，而枝下高模型能被用于预测树木的枝下高，进而用于估算冠长率的变化^[7-8]。此外，林分变量对枝下高的影响较大，枝条的大小会影响木材质量，死亡的枝条被树干包藏后形成节子会影响木材质量，这直接涉及经营措施的选择^{[7, 9]}。因此，准确预估枝下高对提高林业生产具有重要意义。枝下高是指地面到树冠第一个活枝的高度，是表征树冠大小的常用指标之一。根据文献统计，许多研究者利用从简单到复杂的模型形式构建多个树种的枝下高模型^{[5, 8, 10]}。然而，早期对枝下高模型方面的研究，多是借助于冠长率预估模型的对数转化形式而进行的，随后不断有学者对模型进行改进^{[7-8, 11]}。Hanus等^[12]和Hann等^[13]在模型中添加反映立地条件的地位指数后，发现模型的拟合效果有比较明显的提高。随着研究的不断深入，枝下高模型的基础形式已比较固定，分为指数形式和Logistic形式。Rijal^[7]和Fu等^[8]将树高和胸径作为枝下高模型最重要的变量，分析比较这两种模型的形式，认为Logistic模型预估枝下高效果最好。

树高(H)是森林生长与收获预估模型中的核心内容，为林分材积表编制、出材量预测、林分蓄积量预估和林分立地生产潜力评价等提供了重要的基础工作^[14-16]。但在实际调查中，树高测量较为困难，且存在一定的误差，通常采用测高器测量部分树木的树高，其他树木的树高则通过树高曲线来预测。随着树木的生长，树高逐渐增高，树冠下层枝由于受到周围竞争木的遮挡，无法得到充足光照而逐渐死亡，使得枝下高上升，因此，树高是影响枝下高最重要的因子之一^[17-18]。由于树高和枝下高之间存在高度的内在相关性，采用传统的普通最小二乘法(OLS)逐步估计两个模型的参数，无法满足枝下高和树高曲线方程误差同时最小，这与统计假设不符。联立方程组是解决这类问题的常用办法，采用似乎不相关回归(SUR)估计联立方程组的参数能使各方程误差的协方差在没有限制误差的情况下具有渐进有效性，促使变量的方差逐渐减小^[19]。

樟子松(Pinus sylvestris var. mogolica)是欧洲赤松的地理变种，自然分布于我国大兴安岭北部，具有耐干旱、耐瘠薄、耐严寒，以及生长快、产量高、材质好、用途广等特点，是东北地区主要造林树种之一。但是，樟子松的枝条具有个数少、基径大、枝条长、自然整枝不良等特点，严重影响木材质量。所以，如何提高林木生长量和木材质量是樟子松人工林科学经营的现实问题。本文以樟子松人工林为研究对象，主要从以下3个方面进行树高模型与枝下高模型联立方程组的研究：(1)最优树高曲线模型和枝下高模型的选取；(2)在最优模型基础上，采用似乎不相关回归(SUR)构建树高模型和枝下高模型的联立方程组；(3)对所建立的树高模型和枝下高模型的联立方程组进行评价。

1. 研究区概况与研究方法

1.1 研究区概况

本研究建立树高模型和枝下高模型的数据来源于东北林业大学帽儿山实验林场、佳木斯市孟家岗林场以及桦川县横头山林场。帽儿山实验林场位于哈尔滨市东南部，地理坐标为127°30′~ 127°34′E，45°20′~45°25′N，地处张广才岭西坡，以山区丘陵为主，平均海拔300m；属中温带湿润性季风气候，年平均气温2.8℃，年平均降水量700~800mm，全年日照时数2150~2480h。横头山林场位于桦川县西南部，地理坐标为130°28′29″~130°44′14″E，46°34′40″~46°34′14″N，地处完达山余脉，以浅山丘陵为主，平均海拔为350m；属大陆季风气候，年平均气温2.5℃，年平均降水量460mm，全年日照时数2542h。孟家岗林场位于桦南县东北部，地理坐标为130°32′42″~130°52′36″E，46°20′~46°30′50″N，地处完达山西麓余脉，以低山丘陵为主，平均海拔为250m；属东亚大陆性季风气候，年平均气温2.7℃，年平均降水量550mm，全年日照时数1955h。

1.2 数据来源

2002、2003、2005年分别在帽儿山实验林场、横头山林场和孟家岗林场，不同林分条件(年龄、密度和立地条件等)的樟子松人工林中设置61块固定标准地，标准地的大小在0.02~0.2hm²之间。对所有样地进行每木检尺，测定每株树木的胸径(DBH)、树高(H)以及枝下高(HCB)等因子。依据各样地每木检尺数据，计算出各样地林分平均胸径(D_g)、林分平均高(H_m)、每公顷断面积(G)，大于对象木的胸高断面积和(BAL)、优势木平均胸径(D₀)以及优势木平均高(H₀)。本研究共收集的样木数为5211株，按照3:1的比例随机划分成拟合数据(样木数3912株)和检验数据(样木数1299株)，分别用于模型构建和模型检验。樟子松人工林样木及林分因子特征详见表 1。

表 1 樟子松人工林样木及林分因子特征表

Table 1. Summary statistics of stand sample tree variables for Mongolian pine plantation

变量 Variable	平均值 Mean	最大值 Max.	最小值 Min.	标准差 S.D.
胸径Diameter at breast height (DBH)/cm	15.3	39.2	3.3	6.2
树高Tree height (H)/m	13.3	25.4	3.0	5.3
枝下高Height to crown base (HCB)/m	8.5	19.8	0.1	4.4
林分平均胸径Average stand DBH (D_g)/cm	18.3	33.4	6.3	6.5
林分平均高Mean stand height (H_m)/m	15.6	25.2	4.3	6.0
林分断面积/(m²·hm^-2) Stand basal area (G)/(m²·ha^-1)	33.1	48.0	9.6	8.2
大于对象木的断面积和/(m²·hm^-2) Basal area sum larger than subject tree (BAL)/(m ²·ha ^-1)	20.3	47.7	0.0	10.8
优势木平均胸径Mean DBH of dominant tree (D₀)/cm	23.0	10.0	9.4	6.0
优势木平均高Mean tree height of dominant tree (H₀)/m	16.0	24.7	5.2	5.2
年龄Stand age (A)/a	33	48	12	11.3
林分密度/(株·hm^-2) Stand density (SD)/(tree·ha^-1)	1 921	4 800	385	1 020.6

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1.3 研究方法

1.3.1 树高曲线模型

在实际工作中，通过树高和相关变量之间的生物学关系构建树高曲线获取树高。树高曲线有几十种^[20]，本文选取了8种应用较为成熟的树高曲线模型(表 2)，模型中包含的林分因子有：林分平均胸径(D_g)、林分平均高(H_m)、林分每公顷断面积(G)、大于对象木的胸高断面积和(BAL)、优势木平均胸径(D₀)和优势木平均高(H₀)等。利用R_a²和RMSE比较不同树高曲线模型的拟合效果，进而选出几个拟合效果较好的树高曲线方程作为联立方程组中树高曲线模型的备选模型。

表 2 8种树高曲线模型

Table 2. 8 tree height-diameter functions

模型编号 Model No.	表达式 Expression	参考文献 Reference
(1)	$H=1.3+a_{0} G^{a_{1}}\left(1-e^{-a_{2} \times D B H}\right)$	[21]
(2)	$H=1.3+\left[a_{0}\left(\frac{1}{\mathrm{DBH}}-\frac{1}{D_{0}}\right)+\left(\frac{1}{H_{0}-1.3}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{-3}$	[22]
(3)	$H=1.3+\left(H_{0}-1.3\right)\left(\frac{\mathrm{DBH}}{D_{0}}\right)^{a_{0}}$	[23]
(4)	$H=1.3+\left(H_{0}-1.3\right) \frac{1-\mathrm{e}^{a_{0} \times \mathrm{DBH}}}{1-\mathrm{e}^{a_{0} D_{0}}}$	[23]
(5)	$H=1.3+\left(H_{0}-1.3\right) \mathrm{e}^{a_{0}\left(1-\frac{D_{\mathrm{g}}}{\mathrm{DBH}}\right.} )+a_{1}\left(\frac{1}{D_{\mathrm{g}}}-\frac{1}{\mathrm{DBH}}\right)$	[23]
(6)	$H=1.3+\left(H_{\mathrm{m}}-1.3\right) \mathrm{e}^{a_{0}\left(1-\frac{\mathrm{DBH}}{D_{\mathrm{g}}}\right.} )+a_{1}\left(\frac{\mathrm{DBH}}{D_{\mathrm{g}}}-\frac{1}{\mathrm{DBH}}\right)$	[23]
(7)	$H=1.3+\left(a_{0}+a_{1} H_{0}-a_{2} D_{\mathrm{g}}+a_{3} G\right) \mathrm{e}^{-a_{4} / \sqrt{\mathrm{DBH}}}$	[24]
(8)	$H=1.3+\left(a_{0}+a_{1} \times \mathrm{BAL}\right) \exp \left(-a_{2} / \mathrm{DBH}\right)$	[25]
注：a₀、a₁、a₂、a₃、a₄为模型参数。Notes:a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ refer to model parameters.

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1.3.2 枝下高模型

枝下高模型主要分为两种形式：指数形式和Logistic形式。本文选择5个模型作为枝下高基础模型(表 3)。许多研究表明，树高H是预测枝下高的第一变量，而DBH是预测枝下高的第二变量^[17-18]。因此，本文首先拟合只含H和DBH(X=b₀+b₁×DBH，b₀、b₁为参数)自变量的枝下高模型，选出最优的枝下高基础模型。由于枝下高还受竞争因子(COMP)和立地条件(SIZE)的影响，将能反映这些条件的变量带入模型中，采用最优子集回归法进行变量的筛选，构建几个拟合效果较好的枝下高模型作为方程组中枝下高的备选模型。

表 3 枝下高预估模型的基础形式

Table 3. Basic forms of predicting models for height to crown base

模型编号 Model No.	表达式 Expression	模型形式 Model form	因变量的范围 Range of dependent variable	参考文献 Reference
(9)	HCB=H(1.0－expX)	指数形式Exponential form	(-∞, H)	[10]
(10)	HCB=H(1.0－expX²)	指数形式Exponential form	(-∞, H)	[11]
(11)	HCB=H(1.0－c×expX^w)	指数形式Exponential form	(-∞, H)	[17]
(12)	HCB=H/(1.0+expX)	Logistic形式Logistic form	(0, H)	[11]
(13)	HCB=H/(1.0+c×exp X)^1/m	Logistic形式Logistic form	(0, H)	[17]
注：c、m、w为模型参数；X为关于林木大小、竞争因子、立地条件的函数。Notes:c, m and w refer to model parameters；X is the function about tree size competition index and site condition.

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X函数的表达式为：

$X=b+c \times \mathrm{SIZE}+d \times \mathrm{COMP}+e \times \mathrm{SITE}$

式中：b、c、d、e为模型参数。

根据各影响因子分别建立的表达式如下。

(1) 林木大小函数：

$c \times \mathrm{SIZE}=c_{1} \times \mathrm{DBH}+c_{2} H$

(2) 竞争因子函数：

$d \times \mathrm{COMP}=d_{1} G+d_{2} \times \mathrm{BAL}+d_{3} \times \mathrm{HDR}$

(3) 立地条件函数：

$e \times \mathrm{SITE}=e_{1} D_{0}+e_{2} H_{0}$

式中：HDR (Ratio between H and DBH)为高径比，c₁、c₂、d₁、d₂、d₃、e₁、e₂为模型参数。

1.3.3 联立方程组

假设内生变量Y=(Y₁, Y₂, …, Y_p)为p维行向量，外生变量x=(x₁, x₂, …, x_q)为q维行向量，B=(β_ij)为p×p阶方阵，Γ=(γ_ij)为p×q阶矩阵。若已经得到了内生变量的n组观测数据Y_ij，以及相应的外生变量n组观测数据x_ik，i=1, 2, …, n，j=1, 2, …, p，k=1, 2, …, q，记 $\underset{n \times p}{Y}=\left(\begin{array}{ccc}{Y_{11}} & {\cdots} & {Y_{1 p}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {Y_{n 1}} & {\cdots} & {Y_{n p}}\end{array}\right)$ ， $\mathop {\bf{x}}\limits_{n \times q} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{11}}}& \cdots &{{x_{1q}}}\\ \vdots &{}& \vdots \\ {{x_{n1}}}& \cdots &{{x_{nq}}} \end{array}} \right)$ ， $\underset{n \times p}{\boldsymbol{\varepsilon}}=\left(\begin{array}{ccc}{\varepsilon_{11}} & {\cdots} & {\varepsilon_{1 p}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {\varepsilon_{n 1}} & {\cdots} & {\varepsilon_{n p}}\end{array}\right)$ ，则联立方程组的标准形式是：

$\left\{ \begin{align} & \underset{n\times p}{\mathop{\boldsymbol{Y}}}\,\underset{p\times p}{\mathop{\boldsymbol{B}}}\,+\underset{n\times q}{\mathop{\boldsymbol{x}}}\,\ \underset{q\times p}{\mathit{\boldsymbol{\varGamma}\text{ }}}\,=\underset{n\times p}{\mathop{\boldsymbol{\varepsilon}\text{ }}}\, \\ & E\left( \varepsilon \right)=\underset{n\times p}{\mathop{0}}\, \\ & \operatorname{cov}\left( \boldsymbol{\varepsilon}\text{ } \right)=\underset{p\times p}{\mathit{\boldsymbol{\varSigma}\text{ }}}\,\otimes {{\boldsymbol{I}}_{n}} \\ \end{align} \right.$

(14)

式中：向量 $\overrightarrow{\boldsymbol{\varepsilon}}$ 是矩阵ε的拉直，它的协方差的 $\otimes$ 形式表示同一观测点的内生变量Y_i·的协方差矩阵是Σ，各点间相互独立。

本文中联立方程组的通式为：

$\left\{\begin{array}{l}{H=f(\text { SIZE }, \text { COMP }, \text { SITE })} \\ {\mathrm{HCB}=f(H, \mathrm{SIZE}, \mathrm{COMP}, \text { SITE })}\end{array}\right.$

(15)

式中：H和HCB为内生变量，SIZE、COMP、SITE为外生变量。

以上联立方程组用SAS/ETS模块的SUR进行拟合。

1.3.4 模型的评价与检验

回归分析的最后一步也是最重要的一步是对所选模型进行全面验证。本文选用调整后的决定系数(R_a²)和均方根误差(RMSE)来评价模型的拟合效果。采用平均误差(ME)、平均绝对误差(MAE)、总相对误差(TRE)和平均预估误差(MPE) 4个指标进行模型检验^[26-27]。其中，ME和MAE用于反映模型的绝对误差，TRE和MPE用来反映模型的相对误差。各检验指标的数值越小，模型的误差越小，尤其是TRE应该控制在一定范围内(如±3%或±5%)。6个指标的具体计算公式：

$R_{\rm{a}}^2 = 1 - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right)}^2}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - {{\bar y}_i}} \right)}^2}} }}\left( {\frac{{n - 1}}{{n - p}}} \right)$

(16)

${\mathop{\rm RMSE}\nolimits} = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right)}^2}} }}{{n - p}}}$

(17)

$\mathrm{ME}=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{y_{i}-\hat{y}_{i}}{n}\right)$

(18)

$\mathrm{MAE}=\sum\limits_{i=1}^{n}\left|\frac{y_{i}-\hat{y}_{i}}{n}\right|$

(19)

${\rm{TRE}} = \sum {\left( {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right)} /\sum {{{\hat y}_i}} \times 100$

(20)

$\mathrm{MPE}=t_{\alpha}(\mathrm{SEE} / \overline{y}) \sqrt{n} \times 100$

(21)

式中：y_i为实测值； $\hat{y}_{i}$ 为预估值；y_i为实测的平均值；n为样本个数；p为参数个数；t_α为置信水平α时的t值, 本文中α=0.05； ${\rm{SEE = }}\sqrt {\sum {{{\left( {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right)}^2}} /(n - p)}$ 。

2. 结果与分析

2.1 树高曲线模型的选取

利用樟子松人工林拟合数据对8种树高曲线模型分别进行拟合，表 4为调整后相关系数(R_a²)大于0.9的模型拟合结果。由表 4可知，5个模型的参数估计值标准误都比较小，说明模型各参数的稳定性较好。R_a²高达0.94以上，RMSE介于1.17~1.26m之间。模型(6)和模型(7)会略高估其树高值(ME < 0)，其余模型都是低估其树高值。所有模型的平均误差ME比较小，在-0.01~0.33m之间，平均绝对误差MAE均小于1m，总相对误差TRE在-3.0%~3.0%之间，平均预估误差MPE均小于6.5%。综合比较，其中模型(6)和模型(7)的拟合效果较好，选用这两个模型作为拟合方程组中树高曲线的备选模型。

表 4 树高曲线模型的参数估计值、拟合优度及检验结果

Table 4. Results of parameter estimates, goodness of fit and validation result of height-diameter models

模型编号 Model No.	参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	标准误 Standard error	拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result
模型编号 Model No.	参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	标准误 Standard error	R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%
(2)	a₀	1.0622	0.00955	0.9438	1.26	0.32	0.99	-2.19	6.42
(3)	a₀	0.4441	0.00370	0.9440	1.26	0.27	1.00	-1.94	6.39
(4)	a₀	-0.0769	0.000765	0.9441	1.26	0.20	0.99	-1.58	6.43
(6)	a₀	-0.0162	0.00656	0.9453	1.24	-0.08	0.95	-1.26	6.18
(6)	a₁	-0.1337	0.00552	0.9453	1.24	-0.08	0.95	-1.26	6.18
(7)	a₀	3.0443	1.3120	0.9520	1.17	-0.00	0.89	-0.43	5.90
	a₁	1.3103	0.0138
	a₂	2.6453	0.8350
	a₃	0.1984	0.0431
	a₄	2.3579	0.0493

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2.2 枝下高预估模型的建立

最初拟合只含H和DBH作为自变量的枝下高模型，进而选出最优的枝下高基础模型。但在拟合过程中发现，模型(11)和模型(13)存在模型不收敛的问题。Soares等^[28]认为Richards模型和Weibull模型分别是Logistic模型和指数模型的特殊形式，可以先尝试一套固定的参数值将Logistic模型和指数模型分别转化为Richards模型和Weibull模型再进行拟合。本文将c、m和w的值分别设置为1、6和2。枝下高基础模型的参数估计值、拟合优度和检验结果详见表 5。

表 5 枝下高基础模型的参数估计值、拟合优度及检验结果

Table 5. Results of parameter estimates, goodness of fit and validations of basic height to crown base models

模型编号 Model No.	参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	标准误 Standard error	拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result
模型编号 Model No.	参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	标准误 Standard error	R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%
(9)	b₀	-0.877 7	0.018 3	0.8579	1.68	-0.28	1.45	-3.37	14.59
(9)	b₁	-0.0105	0.00865	0.8579	1.68	-0.28	1.45	-3.37	14.59
(10)	b₀	-0.978 8	0.010 8	0.856 8	1.69	-0.31	1.45	-3.72	14.52
(10)	b₁	-0.000273	0.000126	0.856 8	1.69	-0.31	1.45	-3.72	14.52
(11)	b₀	-0.978 8	0.011 4	0.856 8	1.69	-0.31	1.45	-3.72	14.52
(11)	b₁	-0.000 336	0.000 135	0.856 8	1.69	-0.31	1.45	-3.72	14.52
(12)	b₀	-0.3623	0.0287	0.8578	1.68	-0.28	1.45	-3.36	14.58
(12)	b₁	-0.015 6	0.001 51	0.8578	1.68	-0.28	1.45	-3.36	14.58
(13)	b₀	3.061 5	0.066 2	0.857 6	1.68	-0.28	1.45	-3.36	14.58
(13)	b₁	-0.0337	0.00332	0.857 6	1.68	-0.28	1.45	-3.36	14.58

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由表 5可知，5个模型的参数估计值标准误都比较小，说明模型各参数的稳定性较好。R_a²均达到0.85以上，RMSE介于1.67~1.69m之间。5个模型都会高估其枝下高值，所有模型的平均误差ME比较小，在-0.31~0.28m之间，平均绝对误差MAE均小于1.5m，总相对误差TRE在-5.0%~5.0%之间，平均预估误差MPE均小于15%。但由于模型(9)、模型(10)和模型(11)无法限定因变量的范围在0到H之间，导致预测结果可能会出现负数的情况，不具有生物学意义。因此综合考虑，选用拟合效果较好的模型(12)作为预估枝下高的基础模型。

在使用最优子集回归法筛选模型变量时，各模型的拟合效果差异不大，R_a²大多在0.85~0.91之间，RMSE大多在1.35~1.69m之间，但和枝下高基础模型相比，添加林分因子后的枝下高模型的拟合效果明显提升。考虑到模型在包含所有影响因素的情况下，模型中的变量越少越便于应用。DBH是预测模型中反映林木大小的最常用变量；代表竞争因子的变量G、BAL、HDR在拟合模型时，模型的预测精度差异不大，3个变量均用到枝下高备选模型的拟合中；而代表立地条件的D₀和H₀相比较，用到D₀的模型预测精度普遍比用到H₀的模型预测精度低，因此选择H₀拟合枝下高模型。最终建立的枝下高备选模型见表 6。

表 6 枝下高备选模型的拟合优度及检验结果

Table 6. Results of goodness of fitting and validations of height to crown base candidate models

模型编号 Model No.	表达式 Expression	拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result
模型编号 Model No.	表达式 Expression	R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%
(22)	HCB=H/(1+exp(b+c×DBH+dG+eH₀))	0.906 7	1.32	-0.01	1.01	-0.15	11.07
(23)	HCB=H/(1+exp(b+c×DBH+d×BAL+eH₀))	0.905 3	1.33	-0.01	1.02	-0.09	11.17
(24)	HCB=H/(1+exp(b+c×DBH+d×HDR+eH₀))	0.904 1	1.34	-0.01	1.03	-0.10	11.22

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由表 6可知，3个模型的R_a²高达0.90以上，RMSE介于1.32~1.35m之间。模型均会低估其实际值。所有模型的平均误差ME比较小，且均高估枝下高值，平均绝对误差MAE均小于1.05m，总相对误差TRE在±3%之间，平均预估误差MPE均小于12%。

2.3 树高模型与枝下高模型联立方程组

将备选的树高曲线模型(模型(6)、模型(7))和枝下高预估模型(模型(22)、模型(23)、模型(24))分别两两联立，建立树高模型与枝下高模型联立方程组，采用SUR估计模型参数。根据各联立方程组的拟合结果，当模型(7)与模型(22)联立时，模型的拟合效果最好。联立方程组的拟合结果见表 7。联立方程组预估树高时，R_a²为0.9520，RMSE为1.17m，ME接近于0m，MAE为0.89m，TRE为1.67%，MPE为6.34%，说明树高模型的平均预估精度接近94%；联立方程组预估枝下高时，R_a²为0.9066，RMSE为1.36m，ME为0.02m，MAE为1.01m，TRE为-0.26%，MPE为11.07%，说明模型的平均预估精度约为89%。最优联立方程组的具体形式为：

$\left\{ \begin{array}{l} H = 1.3 + \left( {{a_0} + {a_1}{H_0} - {a_2}D{}_g + {a_3}G} \right){e^{ - {a_4}/\sqrt {{\rm{DBH}}} }}\\ {\rm{HCB}} = H/\left( {1 + \exp \left( {b + c \times {\rm{DBH + }}{dG + e}{{H}_0}} \right)} \right) \end{array} \right.$

(25)

表 7 联立方程组(25)的参数估计结果

Table 7. Results of parameter estimates for simultaneous equations model (25)

参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	树高 Tree height (H)						枝下高 Height to crown base (HCB)
		拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result				拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result
		R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%	R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%
a₀	2.1629	0.9520	1.17	-0.00	0.89	1.67	6.34	0.906 6	1.36	0.02	1.01	-0.26	11.07
a₁	1.310 7
a₂	2.111 6
a₃	0.171 3
a₄	2.348 9
b	0.554 0
c	0.038 7
d	-0.015 2
e	-0.070 6

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根据所建立的樟子松树高模型与枝下高联立方程组绘制出模型残差分布图(图 1)可知，残差的散点是随机分布的，说明模型拟合效果较好，且不存在异方差问题。

图 1 联立方程组的树高预估值及枝下高预估值的残差分布

Figure 1. Residual distribution of predicted H and HCB of simultaneous equation model

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图 2为不同竞争条件下，树高和枝下高分别与胸径的关系曲线。当D₀和H₀取平均值时，绘出G=15m²、G=30m²和G=45m²的树高和枝下高分别与胸径的关系曲线，由图 2可知，H和HCB都会随着G的增大而增大。同理，图 3为不同立地条件下，树高和枝下高分别与胸径的关系曲线。当D₀和G取平均值时，绘出H₀=8m、H₀=16m和H₀=24m时的树高和枝下高分别与胸径的关系曲线，由图 3可知，H和HCB会随着H₀的增大而增大。

图 2 其他条件相同时(D₀=22.6cm, H₀=16m)不同竞争条件下树高和枝下高分别与胸径的关系曲线

Figure 2. Relationship between H and HCB with DBH considering D₀=22.6cm and H₀=16m for differentG

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图 3 其他条件相同时(D₀=22.6cm, G=33m²)不同立地条件下树高和枝下高分别与胸径的关系曲线

Figure 3. Relationship between H and HCB with DBH considering D₀=22.6cm and G=33m² for different H₀

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图 4和图 5分别为独立树高和枝下高模型(模型(7)、模型(22))和联立方程组(模型(25))在不同径阶的平均误差。结果表明，大径阶的树高和枝下高ME较大，预测能力较差；小径阶和中等径阶的树高和枝下高ME较小，预测能力较好。总的来说，模型(7)预估树高的ME比模型(25)预估树高的ME略大，但并不明显，而模型(22)预估枝下高的ME比模型(25)预估枝下高的ME大，说明联立方程组预估不同径阶树高和枝下高的误差比独立模型预估结果的误差小，模型预估精度高。

图 4 模型(7)和模型(25)拟合不同径阶树高的平均误差

Figure 4. ME obtained for diameter classes in the fitting H of model (7) and model (25)

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图 5 模型(22)和模型(25)拟合不同径阶树的枝下高的平均误差

Figure 5. ME obtained for diameter classes in the fitting HCB of model (22) and model (25)

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3. 结论与讨论

本文基于黑龙江省樟子松人工林样地调查数据，先拟合了8种应用较为成熟的树高曲线，选出拟合效果较好的2个树高模型作为联立方程组的备选模型。基于枝下高基础模型，采用最优子集回归法筛选变量，选出3个变量少且拟合效果较好的枝下高模型作为联立方程组的备选模型。将2个树高备选模型和3个枝下高备选模型两两联立，建立树高模型与枝下高模型的联立方程组，采用似乎不相关法(SUR)求解模型参数，最终得到的最优联立方程组(模型(25))。模型(25)预估树高和枝下高时均具有最大的R_a²，分别为0.9520和0.9066，以及最小的RMSE，分别为1.17m和1.36m，且模型的各项检验指标均处于较低水平，这说明联立方程组在估算树高及枝下高时产生较小的误差。通过联立树高模型与枝下高模型构建联立方程组，不仅解决了树高和枝下高的内在相关性问题，也保证了模型具有较高的预测能力。

许多研究表明，树高是预估枝下高的重要变量^[17-18]。此外，枝下高模型中添加林分变量(竞争因子和立地条件)后，模型的拟合效果有显著提升，但变量引入过多不仅没有明显地提高模型的拟合效果，反而使模型复杂化^[12-13]。因此，枝下高模型中只保留了反映竞争因子的变量林分断面积和反映立地条件的变量优势木平均高。树高曲线是胸径和其他林分因子与树高的关系曲线，可用于不同林分条件下的树高预测，具有较强的灵活性^[29-30]，能较准确地预测树高，本文选用的树高曲线方程同样也包含林分断面积和优势木平均高。研究表明，树高模型中的参数均为正数，说明树高与林分平均胸径呈负相关，而与林分断面积和优势木平均高呈正相关。这主要考虑到相同条件下，林分整体胸径越大，过度的胸径增长导致树高普遍较低，Sonmez^[31]在拟合树高曲线时也得出相同的结论；而树高与林分断面积和优势木平均高呈正相关，说明林分内竞争越激烈、立地条件越好，树高越高。董云飞等^[32]认为，竞争越激烈树高越高；段文标等^[33]和罗玲^[34]的研究结果发现，生长在更好的立地条件下的樟子松，树高更高。这些观点均与本文的结果一致。

枝下高模型中的参数c为正，说明枝下高与胸径呈负相关，即树木越大，枝下高越低。Rijal等^[7]和Fu等^[8]在拟合枝下高模型时也得到了相同的参数结果。通常林分内较大的树由于长势较好，树冠周围竞争压力少，树冠获得的光照条件好，树冠下层的枝死亡的情况较少，因此枝下高较低；而参数d、e为负，说明枝下高与林分断面积和优势木平均高呈正相关，即林分内竞争越激烈、立地条件越好，枝下高越高。可能因为竞争越激烈，立地条件越好，树高越高，进而促使树冠整体上移，枝下高随之增大，贾炜玮^[35]通过研究枝条生长及节子的分布证明了樟子松生长存在这一规律。

到目前为止，国内关于枝下高的研究较少^{[5, 36]}，对于樟子松人工林枝下高的研究还未见报道。总的来说，本文利用61块固定标准地的5211株样木所建立的树高模型与枝下高模型具有一定的预测能力。此外，本研究中，最大胸径为39.2cm，缺乏大径阶数据，在预估大径阶(DBH>40cm)的树高和枝下高时，可能产生较大的预测误差。为了提高樟子松树高模型与枝下高模型联立方程组的精度，今后的外业调查需要测定更多的不同林分条件的样地，年龄跨度均匀，范围广泛，林分密度梯度多，立地条件差别明显，使样地的林分条件涵盖多种情况，以便建立外延性更好、具有更高生物学意义的预估模型，为进一步研究树高及枝下高动态模型提供理论研究基础。

图 1 联立方程组的树高预估值及枝下高预估值的残差分布

Figure 1. Residual distribution of predicted H and HCB of simultaneous equation model

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图 2 其他条件相同时(D₀=22.6cm, H₀=16m)不同竞争条件下树高和枝下高分别与胸径的关系曲线

Figure 2. Relationship between H and HCB with DBH considering D₀=22.6cm and H₀=16m for differentG

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图 3 其他条件相同时(D₀=22.6cm, G=33m²)不同立地条件下树高和枝下高分别与胸径的关系曲线

Figure 3. Relationship between H and HCB with DBH considering D₀=22.6cm and G=33m² for different H₀

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图 4 模型(7)和模型(25)拟合不同径阶树高的平均误差

Figure 4. ME obtained for diameter classes in the fitting H of model (7) and model (25)

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图 5 模型(22)和模型(25)拟合不同径阶树的枝下高的平均误差

Figure 5. ME obtained for diameter classes in the fitting HCB of model (22) and model (25)

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表 1 樟子松人工林样木及林分因子特征表

Table 1 Summary statistics of stand sample tree variables for Mongolian pine plantation

变量 Variable	平均值 Mean	最大值 Max.	最小值 Min.	标准差 S.D.
胸径Diameter at breast height (DBH)/cm	15.3	39.2	3.3	6.2
树高Tree height (H)/m	13.3	25.4	3.0	5.3
枝下高Height to crown base (HCB)/m	8.5	19.8	0.1	4.4
林分平均胸径Average stand DBH (D_g)/cm	18.3	33.4	6.3	6.5
林分平均高Mean stand height (H_m)/m	15.6	25.2	4.3	6.0
林分断面积/(m²·hm^-2) Stand basal area (G)/(m²·ha^-1)	33.1	48.0	9.6	8.2
大于对象木的断面积和/(m²·hm^-2) Basal area sum larger than subject tree (BAL)/(m ²·ha ^-1)	20.3	47.7	0.0	10.8
优势木平均胸径Mean DBH of dominant tree (D₀)/cm	23.0	10.0	9.4	6.0
优势木平均高Mean tree height of dominant tree (H₀)/m	16.0	24.7	5.2	5.2
年龄Stand age (A)/a	33	48	12	11.3
林分密度/(株·hm^-2) Stand density (SD)/(tree·ha^-1)	1 921	4 800	385	1 020.6

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表 2 8种树高曲线模型

Table 2 8 tree height-diameter functions

模型编号 Model No.	表达式 Expression	参考文献 Reference
(1)	$H=1.3+a_{0} G^{a_{1}}\left(1-e^{-a_{2} \times D B H}\right)$	[21]
(2)	$H=1.3+\left[a_{0}\left(\frac{1}{\mathrm{DBH}}-\frac{1}{D_{0}}\right)+\left(\frac{1}{H_{0}-1.3}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{-3}$	[22]
(3)	$H=1.3+\left(H_{0}-1.3\right)\left(\frac{\mathrm{DBH}}{D_{0}}\right)^{a_{0}}$	[23]
(4)	$H=1.3+\left(H_{0}-1.3\right) \frac{1-\mathrm{e}^{a_{0} \times \mathrm{DBH}}}{1-\mathrm{e}^{a_{0} D_{0}}}$	[23]
(5)	$H=1.3+\left(H_{0}-1.3\right) \mathrm{e}^{a_{0}\left(1-\frac{D_{\mathrm{g}}}{\mathrm{DBH}}\right.} )+a_{1}\left(\frac{1}{D_{\mathrm{g}}}-\frac{1}{\mathrm{DBH}}\right)$	[23]
(6)	$H=1.3+\left(H_{\mathrm{m}}-1.3\right) \mathrm{e}^{a_{0}\left(1-\frac{\mathrm{DBH}}{D_{\mathrm{g}}}\right.} )+a_{1}\left(\frac{\mathrm{DBH}}{D_{\mathrm{g}}}-\frac{1}{\mathrm{DBH}}\right)$	[23]
(7)	$H=1.3+\left(a_{0}+a_{1} H_{0}-a_{2} D_{\mathrm{g}}+a_{3} G\right) \mathrm{e}^{-a_{4} / \sqrt{\mathrm{DBH}}}$	[24]
(8)	$H=1.3+\left(a_{0}+a_{1} \times \mathrm{BAL}\right) \exp \left(-a_{2} / \mathrm{DBH}\right)$	[25]
注：a₀、a₁、a₂、a₃、a₄为模型参数。Notes:a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ refer to model parameters.

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表 3 枝下高预估模型的基础形式

Table 3 Basic forms of predicting models for height to crown base

模型编号 Model No.	表达式 Expression	模型形式 Model form	因变量的范围 Range of dependent variable	参考文献 Reference
(9)	HCB=H(1.0－expX)	指数形式Exponential form	(-∞, H)	[10]
(10)	HCB=H(1.0－expX²)	指数形式Exponential form	(-∞, H)	[11]
(11)	HCB=H(1.0－c×expX^w)	指数形式Exponential form	(-∞, H)	[17]
(12)	HCB=H/(1.0+expX)	Logistic形式Logistic form	(0, H)	[11]
(13)	HCB=H/(1.0+c×exp X)^1/m	Logistic形式Logistic form	(0, H)	[17]
注：c、m、w为模型参数；X为关于林木大小、竞争因子、立地条件的函数。Notes:c, m and w refer to model parameters；X is the function about tree size competition index and site condition.

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表 4 树高曲线模型的参数估计值、拟合优度及检验结果

Table 4 Results of parameter estimates, goodness of fit and validation result of height-diameter models

模型编号 Model No.	参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	标准误 Standard error	拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result
模型编号 Model No.	参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	标准误 Standard error	R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%
(2)	a₀	1.0622	0.00955	0.9438	1.26	0.32	0.99	-2.19	6.42
(3)	a₀	0.4441	0.00370	0.9440	1.26	0.27	1.00	-1.94	6.39
(4)	a₀	-0.0769	0.000765	0.9441	1.26	0.20	0.99	-1.58	6.43
(6)	a₀	-0.0162	0.00656	0.9453	1.24	-0.08	0.95	-1.26	6.18
(6)	a₁	-0.1337	0.00552	0.9453	1.24	-0.08	0.95	-1.26	6.18
(7)	a₀	3.0443	1.3120	0.9520	1.17	-0.00	0.89	-0.43	5.90
	a₁	1.3103	0.0138
	a₂	2.6453	0.8350
	a₃	0.1984	0.0431
	a₄	2.3579	0.0493

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表 5 枝下高基础模型的参数估计值、拟合优度及检验结果

Table 5 Results of parameter estimates, goodness of fit and validations of basic height to crown base models

模型编号 Model No.	参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	标准误 Standard error	拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result
模型编号 Model No.	参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	标准误 Standard error	R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%
(9)	b₀	-0.877 7	0.018 3	0.8579	1.68	-0.28	1.45	-3.37	14.59
(9)	b₁	-0.0105	0.00865	0.8579	1.68	-0.28	1.45	-3.37	14.59
(10)	b₀	-0.978 8	0.010 8	0.856 8	1.69	-0.31	1.45	-3.72	14.52
(10)	b₁	-0.000273	0.000126	0.856 8	1.69	-0.31	1.45	-3.72	14.52
(11)	b₀	-0.978 8	0.011 4	0.856 8	1.69	-0.31	1.45	-3.72	14.52
(11)	b₁	-0.000 336	0.000 135	0.856 8	1.69	-0.31	1.45	-3.72	14.52
(12)	b₀	-0.3623	0.0287	0.8578	1.68	-0.28	1.45	-3.36	14.58
(12)	b₁	-0.015 6	0.001 51	0.8578	1.68	-0.28	1.45	-3.36	14.58
(13)	b₀	3.061 5	0.066 2	0.857 6	1.68	-0.28	1.45	-3.36	14.58
(13)	b₁	-0.0337	0.00332	0.857 6	1.68	-0.28	1.45	-3.36	14.58

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表 6 枝下高备选模型的拟合优度及检验结果

Table 6 Results of goodness of fitting and validations of height to crown base candidate models

模型编号 Model No.	表达式 Expression	拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result
模型编号 Model No.	表达式 Expression	R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%
(22)	HCB=H/(1+exp(b+c×DBH+dG+eH₀))	0.906 7	1.32	-0.01	1.01	-0.15	11.07
(23)	HCB=H/(1+exp(b+c×DBH+d×BAL+eH₀))	0.905 3	1.33	-0.01	1.02	-0.09	11.17
(24)	HCB=H/(1+exp(b+c×DBH+d×HDR+eH₀))	0.904 1	1.34	-0.01	1.03	-0.10	11.22

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表 7 联立方程组(25)的参数估计结果

Table 7 Results of parameter estimates for simultaneous equations model (25)

参数 Parameter	参数估计值 Parameter estimate	树高 Tree height (H)						枝下高 Height to crown base (HCB)
		拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result				拟合优度 Goodness of fitting		检验结果 Validation result
		R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%	R_a²	RMSE/m	ME/m	MAE/m	TRE/%	MPE/%
a₀	2.1629	0.9520	1.17	-0.00	0.89	1.67	6.34	0.906 6	1.36	0.02	1.01	-0.26	11.07
a₁	1.310 7
a₂	2.111 6
a₃	0.171 3
a₄	2.348 9
b	0.554 0
c	0.038 7
d	-0.015 2
e	-0.070 6

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施引文献(26)

期刊类型引用(14)

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1. 研究区概况与研究方法
1.1 研究区概况
1.2 数据来源
1.3 研究方法
1.3.1 树高曲线模型
1.3.2 枝下高模型
1.3.3 联立方程组
1.3.4 模型的评价与检验
2. 结果与分析
2.1 树高曲线模型的选取
2.2 枝下高预估模型的建立
2.3 树高模型与枝下高模型联立方程组
3. 结论与讨论

1. 研究区概况与研究方法
1.1 研究区概况
1.2 数据来源
1.3 研究方法
1.3.1 树高曲线模型
1.3.2 枝下高模型
1.3.3 联立方程组
1.3.4 模型的评价与检验
2. 结果与分析
2.1 树高曲线模型的选取
2.2 枝下高预估模型的建立
2.3 树高模型与枝下高模型联立方程组
3. 结论与讨论

参考文献(36)

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基于联立方程组的人工樟子松枝下高模型构建

作者简介: 李想。主要研究方向：林分生长模型。Email：lx0326999@163.com 地址：150040 黑龙江省哈尔滨市香坊区和兴路26号东北林业大学林学院

责任作者: 李凤日，教授。主要研究方向：林分生长模型。Email：fengrili@126.com 地址：同上

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