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森林资源调查和林业数表编制以及生物量碳储量等方面的研究都经常会使用立木材积方程[1-4]，因此提高立木材积方程的预测精度变得十分重要。常用的一元和二元材积模型是分别基于胸径或树高和胸径的立木材积模型；其实也存在基于树高、胸径和一个上部直径来确定树干材积的三元材积模型，其理论精度更高[5]。常见的三元材积模型通常都会引入形率因子；形率是树干上某一位置的直径除以比较直径得到的比值，而比较直径通常为胸径。形率又可分为胸高形率、绝对形率、正形率以及其他形率等。徐祯祥等[6]便以望高法、胸高形率法、绝对形率法为基础，提出了形点法测量单木立木材积；张明铁等[7]则进一步提出了3/4形点法，并利用99株落叶松（Larix gmelinii）解析木进行了验证；冯仲科等[8]认为根据孔兹干曲线方程建立的树干材积精准区分求积式推导出立木的改进形点法求积式，经过与改进前的立木形点法对比，改进后的形点法具有更高的准确度和实用性；张明铁[9]以5个树种的解析木数据为基础，系统的比较了5种形率方法，并根据结果建议对干形饱满的树种采用3/4形点法、
$\sqrt {0.5} $ 形点法；对干形尖削的树种采用$\sqrt {0.5} $ 形点法、胸高形率法。但由于树干上部直径测量十分困难等原因，各种形率方法未能在森林调查和生产中推广应用。近年来，随着高性能激光测树仪器的发展[10-14]，树干上部直径的测量变为可能。鉴于此，为了提高樟子松（Pinus sylvestris var. mongolica）立木材积的预测精度，本研究利用樟子松树干实测的15个相对高度处的直径数据和1.3 m处的胸径数据，基于传统的一元和二元立木材积模型，分别构建含有形率的二元和三元立木材积模型。采用广义模型方法进行拟合以及引入方差函数消除不等方差对各材积方程的影响。以期通过引入形率预测变量提高立木材积的预测精度。旨在为大兴安岭地区樟子松森林经营管理及生长和收获的精准预测提供科学依据。 -
数据来源于大兴安岭阿木尔林业局不同林龄和不同林分采集的樟子松样木数据，树木被伐倒后，测量胸径（1.3 m）、树高及15个相对树高0%、2%、4%、6%、8%、10%、15%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%处的直径，立木材积利用区分求积法求算。异常数据则利用绘制树高—胸径散点图的方法剔除。最终得到样木数据198株，样木以5 cm（5 ~ 10 cm）、10 cm（10 ~ 15 cm）、15 cm（15 ~ 20 cm）、20 cm（20 ~ 25 cm）、25 cm（25 ~ 30 cm）、30 cm（30 ~ 35 cm）、35 cm（35 ~ 40 cm）、40 cm（40 ~ 45 cm）、45 cm（≥ 45 cm）以上9个径阶进行分组。然后利用S-PLUS软件对数据进行分径阶随机抽样，其中建模数据样本占80%，检验数据样本占20%。最终得到建模样本159株，检验样本39株。树高、胸径和材积统计量如表1所示。
表 1 样木调查因子统计量
Table 1. Statistics in survey factors of sample plots
样本
Sample数值类型
Value type胸径
DBH/
cm树高
Tree height/m材积
Tree volume/m3建模样本
Fitting sample平均值 Mean 36.65 19.81 1.11 最小值 Min. 5.60 7.04 0.01 最大值 Max. 55.90 25.40 2.55 标准差 SD 11.53 3.58 0.64 检验样本
Validation sample平均值 Mean 34.17 19.16 1.00 最小值 Min. 5.30 7.10 0.01 最大值 Max. 50.50 25.19 2.10 标准差 SD 13.16 4.44 0.61 -
常用的立木材积模型包括一元材积模型和二元材积模型。通常都采用以下形式[9-11]：
$$V = {a_0}{d^{{a_1}}}$$ (1) $$V = {a_0}{d^{{a_1}}}{h^{{a_2}}}$$ (2) 在模型（1）和模型（2）中引入形率因子后，各模型的形式如下：
$$V = {a_0}{d^{{a_1}}}{q_x}^{{a_2}}$$ (3) $$V = {a_0}{d^{{a_1}}}{h^{{a_2}}}{q_x}^{{a_3}}$$ (4) 式中：V为材积；d为胸径；h为总树高；
${q_x} = {d_x}/$ dz，dx为树干上某一相对位置的直径，dz为比较直径（本文为胸径）；a0、a1、a2、a3为方程的参数。在常用的立木材积模型中，因变量随预测值增大的同时误差也会随之增大，表现出明显的异方差现象[15-19]。因此，为了消除异方差的影响在模型拟合过程中需要采取一些措施。就目前而言，林业上普遍采用的消除异方差的方法有对数转换法和加权回归法[20-22]。本文采用幂函数、指数函数和常数加幂函数进行加权回归[23]。其中，材积观察值（V）、预测值（
$\hat V$ ）以及胸径的3种变换（$\sqrt d $ 、d、d2）以及组合变量（${d^2}h$ ）作为方差函数的变量，并通过比较AIC和BIC，也就是赤池信息量和贝叶斯信息量的数值，选择最合理的误差方差模型[20]。$${\text{指数函数}}:\;\;\;g\left( {{\mu _i},\alpha } \right) = {\rm{exp}}\left( {\alpha {\mu _i}} \right)$$ (5) $$ {\text{幂函数}}:\;\;\;g\left( {{\mu _i},\beta } \right) = {\left| {{\mu _i}} \right|^\beta } $$ (6) $$ {\text{常数加幂函数}}:\;\;\;g\left( {{\mu _i},\delta } \right) = {\delta _1} + {\left| {{\mu _i}} \right|^{{\delta _2}}} $$ (7) 式中：μi为第i株林木的方差函数变量，α、β、δ、δ1和δ2为待估参数。
-
利用S-PLUS软件对模型进行拟合得到参数估计值。拟合结果采用确定系数（R2）和均方根误差（RMSE）进行评价。检验结果通过确定系数（R2）、均方根误差（RMSE）、平均误差绝对值（MAB）和相对误差绝对值（MPB）进行检验。相应的数学表达式为：
$${R^2} = 1 - {\frac{{\displaystyle\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {{\left( {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right)}^2}}}{{\displaystyle\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {{\left( {{y_i} - \bar y} \right)}^2}}}} $$ (7) $$ {\rm{RMSE}} = \sqrt {\frac{{\displaystyle\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {{\left( {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right)}^2}}}{{n - 1}}} $$ (9) $${\rm{MAB}} = \frac{{\displaystyle\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left| {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right|}}{n}$$ (10) $${\rm{MPB}} = \frac{{\displaystyle\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left| {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right|}}{{\displaystyle\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n {{\hat y}_i}}}$$ (11) 式中：yi为实测值，
${\hat y_i}$ 为模型预估值，${\bar y_i}$ 为实测值的平均值，n为样本数。 -
基于不同相对树高所得的不同形率、胸径、树高分别建立不含树高的二元立木材积模型（3）和含有树高的三元立木材积模型（4）。采用S-PLUS统计软件分别对15个不同形率的立木材积模型进行拟合及参数估计。参数估计值如表2所示。由表2可以看出，各模型参数变动较大。在各模型中分别代入表2中的估计参数，计算各模型的统计评价指标R2和RMSE。依据均方根误差RMSE最小和决定系数R2最大的原则，选择最优模型。从表（2）对比的15个二元材积模型中，可以看出二元材积模型（3）在形率为q0.7时，R2最大和RMSE最小。在对比三元材积的15个模型中，三元材积模型（4）在形率为q0.5时，R2最大和RMSE最小。因此，我们选择q0.7作为模型（3）的形率；q0.5作为模型（4）的形率。最终得到加入形率的材积模型如下：
表 2 模型参数估计值及其拟合的统计量
Table 2. Parameter estimates and its fitting statistics of models
形率
Form quotienta0 a1 a2 a3 RMSE R2 二元
Two-variable三元
Three-variable二元
Two-variable三元
Three-variable二元
Two- variable三元
Three- variable三元
Three- variable二元
Two variable三元
Three- variable二元
Two- variable三元
Three- variableq0 0.000 3 0.000 10 2.177 5 1.965 0 0.641 0 0.590 8 0.553 2 0.130 3 0.117 2 0.958 3 0.966 3 q0.02 0.000 5 0.000 20 2.142 3 1.937 7 − 0.838 4 0.602 7 − 0.647 9 0.135 3 0.122 1 0.955 1 0.963 4 q0.04 0.000 5 0.000 20 2.104 1 1.931 2 − 1.462 6 0.557 9 − 0.946 1 0.132 9 0.122 1 0.956 6 0.963 4 q0.06 0.000 5 0.000 05 2.128 3 1.981 8 − 0.687 6 0.939 3 2.941 3 0.139 3 0.119 9 0.952 4 0.964 7 q0.08 0.000 3 0.000 05 2.273 2 2.019 0 1.703 4 0.935 5 2.817 2 0.129 9 0.097 6 0.958 6 0.976 6 q0.1 0.000 3 0.000 05 2.305 8 2.051 7 1.677 1 0.866 2 2.216 3 0.120 0 0.088 2 0.964 7 0.980 9 q0.15 0.000 3 0.000 06 2.311 1 2.058 8 1.360 9 0.809 8 1.660 5 0.115 3 0.084 3 0.967 4 0.982 6 q0.2 0.000 3 0.000 06 2.273 9 1.999 7 1.138 5 0.904 3 1.511 4 0.117 2 0.079 8 0.966 3 0.984 4 q0.3 0.000 4 0.000 06 2.263 0 1.961 3 1.082 9 0.970 5 1.448 5 0.109 1 0.061 1 0.970 8 0.990 8 q0.4 0.000 4 0.000 06 2.244 9 1.928 1 0.931 9 1.024 7 1.261 4 0.105 2 0.047 9 0.972 8 0.994 4 q0.5 0.000 5 0.000 10 2.220 9 1.917 7 0.883 1 0.921 3 1.081 0 0.097 8 0.047 5 0.976 5 0.994 6 q0.6 0.000 5 0.000 11 2.241 0 1.967 4 0.696 2 0.808 6 0.777 8 0.097 2 0.059 7 0.976 8 0.991 2 q0.7 0.000 4 0.000 13 2.273 3 2.044 1 0.534 5 0.648 1 0.535 7 0.095 0 0.071 6 0.977 3 0.987 4 q0.8 0.000 4 0.000 15 2.263 9 2.050 8 0.375 9 0.591 2 0.365 4 0.105 7 0.089 7 0.972 6 0.980 6 q0.9 0.000 5 0.000 19 2.238 3 2.043 5 0.239 0 0.532 4 0.217 4 0.111 3 0.099 3 0.969 6 0.975 8 注：q0, q0.02, …, q0.9分别为相对树高0%, 2%, …, 90%处的形率。下同。Notes: q0, q0.02, …, q0.9 are the form quotients at 0%, 2%, …, 90% of the relative tree height, respectively. The same below. $$V = {a_0}{d^{{a_1}}}{q_{0.7}}^{{a_2}}$$ (12) $$V = {a_0}{d^{{a_1}}}{h^{{a_2}}}{q_{0.5}}^{{a_3}}$$ (13) -
利用S-PLUS统计软件分别拟合一元模型（1）、二元模型（2）和加入形率的二元模型（12）和三元模型（13）。图1a、c、e、g分别为各模型的残差分布，由图1a、c、e、g可以看出，极为明显的喇叭状在4种立木材积模型中均有体现，表明它们具有明显的方差异质性。本研究通过引入幂函数、指数函数和常数加幂函数对立木材积模型进行异方差校正，具体采用S-PLUS软件的广义非线性GNLS模块。方差函数变量分别考虑材积观察值（V）、预测值（
$\hat V$ ）以及胸径的3种变换（$\sqrt d $ 、d、d2）以及组合变量（${d^2}h$ ），结果见表3。通过表3中的AIC和BIC值可以看出：对于传统的一元模型（1）和加入形率的二元模型（12），误差方差函数为指数函数时，变量$\sqrt d $ 对应的AIC和BIC值最小；方差函数为幂函数和常数加幂函数时，变量$\hat V$ 对应的AIC和BIC值最小，而对于传统的二元模型（2）和加入形率的三元模型（13），方差函数为幂函数时和常数加幂函数时，变量$\hat V$ 对应的AIC和BIC值最小；当误差方差函数为指数函数时，传统二元模型（2）在变量为$\sqrt d $ 、三元模型（13）在变量为d时对应的AIC和BIC值最小。在综合比较各模型的3种误差方差函数时发现：当幂函数中的变量为$\hat V$ 时，传统一元模型（1）（AIC = − 253.92，BIC = − 241.64）和加入形率的二元模型（12）（AIC = − 363.79，BIC = − 348.45）所对应的AIC和BIC值都最小。当幂函数中变量为V时，传统二元模型（2）（AIC = − 324.89，BIC = − 309.55）和加入形率的三元模型（13）（AIC = − 645.08，BIC = − 626.66）所对应的AIC和BIC值都最小。分别绘制各最优加权模型的残差分布（图1b、d、f、h），4种立木材积方程经过异方差校正后显示了随机和均匀的残差分布。
图 1 基于最小二乘法和加权回归的残差图
Figure 1. Residual plots of volume models based on least square
表 3 材积模型误差方差函数结果比较
Table 3. Comparison of error variance functions of volume models
误差函数
Error function变量
VariableAIC BIC （1） （2） （12） （13） （1） （2） （12） （13） 指数函数
Exponential function$\hat V$ − 231.79 − 278.31 − 335.42 − 611.44 − 219.52 − 262.97 − 320.08 − 593.03 V − 227.00 − 287.35 − 336.62 − 613.13 − 214.72 − 272.01 − 321.28 − 594.72 $\sqrt d $ − 252.55 − 308.66 − 357.77 − 614.92 − 240.27 − 293.31 − 342.42 − 596.50 d − 247.61 − 302.66 − 350.83 − 620.43 − 235.34 − 287.32 − 335.49 − 602.01 d2 − 233.68 − 285.66 − 338.55 − 608.69 − 221.40 − 270.31 − 323.21 − 590.28 ${d^2}h$ − 273.93 − 605.93 − 258.58 − 587.52 幂函数
Power function$\hat V$ − 253.92 − 314.29 − 363.79 − 642.15 − 241.64 − 298.94 − 348.45 − 623.73 V − 248.87 − 324.89 − 363.42 − 645.08 − 236.60 − 309.55 − 348.08 − 626.66 $\sqrt d $ − 250.30 − 306.62 − 361.50 − 622.36 − 238.02 − 291.28 − 346.16 − 603.95 d − 250.30 − 306.62 − 361.50 − 622.36 − 238.02 − 291.28 − 346.16 − 603.95 d2 − 250.30 − 306.62 − 361.50 − 622.36 − 238.02 − 291.28 − 346.16 − 603.95 ${d^2}h$ − 299.89 − 622.91 − 284.55 − 604.50 常数加幂函数
Constant plus power function$\hat V$ − 253.30 − 312.29 − 361.79 − 640.15 − 237.96 − 293.88 − 343.38 − 618.66 V − 248.14 − 323.87 − 361.42 − 643.08 − 232.79 − 305.45 − 343.01 − 621.59 $\sqrt d $ − 251.58 − 308.25 − 359.50 − 620.36 − 236.23 − 289.84 − 341.09 − 598.88 d − 251.58 − 308.25 − 359.50 − 620.36 − 236.23 − 289.84 − 341.09 − 598.88 d2 − 251.58 − 308.25 − 359.50 − 620.36 − 236.23 − 289.84 − 341.09 − 598.88 ${d^2}h$ − 301.27 − 620.91 − 282.85 − 599.43 -
表4给出了传统一元和二元立木材积模型以及加入形率后的二元和三元立木材积模型异方差校正后各模型参数估计值和拟合统计量。由表4可以发现：各模型参数估计值均表现为极显著（P < 0.000 1），拟合效果都很好，R2均大于0.95，RMSE都小于0.15；其中，加入形率的立木材积模型明显大于传统的模型，三元材积模型（13）的AIC = − 645.077 1、BIC = − 626.663 7、RMSE = 0.047 5明显最小，R2 = 0.994 5，明显最大，拟合精度最高；其次分别是加入形率的二元材积模型（12）、传统二元材积模型（2）和一元材积模型（1）。
表 4 模型参数估计值及其拟合的统计量
Table 4. Parameter estimates and fitting statistics of models
模型
Model自变量
Independent variable参数
Parameter估计值
Estimated valuet P AIC BIC RMSE R2 （1） d1.3 a0 0.000 313 8.109 52 < 0.000 1 − 253.917 3 − 241.641 7 0.140 6 0.951 8 a1 2.236 795 66.702 28 < 0.000 1 （2） d1.3, h a0 0.000 058 8.380 34 < 0.000 1 − 324.893 5 − 309.549 0 0.125 0 0.961 7 a1 1.962 806 47.509 39 < 0.000 1 a2 0.882 123 11.215 36 < 0.000 1 （12） d1.3, q0.7 a0 0.000 351 10.913 04 < 0.000 1 − 363.793 7 − 348.449 2 0.094 8 0.978 0 a1 2.319 327 89.689 35 < 0.000 1 a2 0.562 946 12.714 94 < 0.000 1 （13） d1.3, h, q0.5 a0 0.000 084 19.80 85 < 0.000 1 − 645.077 1 − 626.663 7 0.047 5 0.994 5 a1 1.950 067 127.80 65 < 0.000 1 a2 0.920 944 31.00 70 < 0.000 1 a3 1.055 279 32.26 58 < 0.000 1 -
应用检验数据，根据表4中各模型的估计参数值，利用S-PLUS软件计算各模型的平均误差绝对值（MAB）、相对误差绝对值（MPB）、均方根误差（RMSE）以及确定系数（R2）。MAB、MPB以及RMSE越小，R2越大，则模型精度就越高。检验结果见表5。由表5可以看出，带有形率的立木材积模型预测精度明显优于传统模型，三元立木材积模型（13）预测精度最高，传统二元材积模型（2）和加入形率的二元材积模型（12）优于一元材积模型（1）。
表 5 立木材积模型检验结果
Table 5. Validation results of volume models
模型
Model自变量
Independent variableMAB MPB RMSE R2 （1） d1.3 0.119 3 11.853 1 0.163 4 0.926 1 （2） d1.3, h 0.094 0 9.495 9 0.123 1 0.958 1 （12） d1.3, q0.7 0.082 7 8.305 2 0.108 4 0.967 5 （13） d1.3, h, q0.5 0.027 4 2.733 0 0.036 9 0.996 2 -
表5只对模型的总体平均预测精度进行了检验，但这不能说明在不同径阶的样木数据中也具有相同规律，为进一步分析各模型在不同径阶的预测精度变化，采用分径阶比较的方法做进一步比较分析。使用检验数据，利用S-PLUS软件把数据划分为（5 cm ≤ D < 25 cm）、（25 cm ≤ D < 40 cm）和（40 cm ≤ D）3组，并利用表4得到的参数估计值计算各模型均方根误差（RMSE）和平均误差绝对值（MAB），并绘制柱状图（图2）。根据图2中柱状图和标注可以看出，对于小径阶（5 cm ≤ D < 25 cm）的树木，4种方程的预测精度差距不大，三元立木材积模型（13）稍好，随后依次是传统二元材积模型（2）、加入形率的二元材积模型（12）和一元材积模型（1）；对于中等径阶（25 cm ≤ D < 40 cm）的树木，三元立木材积模型（13）明显优于其他模型，传统二元材积模型（2）优于加入形率的二元材积模型（12），但差距不大，一元材积模型（1）的预测精度最低；对于大径阶（40 cm ≤ D）的树木，加入形率因子的立木材积模型的优势非常明显，三元立木材积模型（13）的预测精度最高，加入形率的二元材积模型（12）的预测精度优于传统二元材积模型（2），一元材积模型（1）预测精度最低。总的来说，对于小径阶和中等径阶的树木，模型的检验精度顺序为：模型（13） > 模型（2） > 模型（12） > 模型（1）；对于大径阶的树木，模型的检验精度顺序为：模型（13） > 模型（12） > 模型（2） > 模型（1）。
图 2 各材积方程分径阶比较
Figure 2. Comparison of different diameter classes of volume equations
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形率是反映干形变化的重要指标。无论是树干材积的大小和质量，还是林木材种的出材量，形率都是关键因素。此外，在编制一些测树用表的过程中，形率也是主要的依据指标[24-25]。本研究利用大兴安岭地区198株樟子松的样木实测数据，对15个树干不同形率的立木材积方程的拟合优度进行了详细的对比分析并选出了最优的形率，其中基于树干相对高度70%处即形率为q0.7时，基于胸径变量和带有形率的二元模型拟合效果最好；基于树干相对高度50%处即形率为q0.5时，基于胸径和树高变量和带有形率的三元模型拟合效果最好。
为了得到可靠的参数估计，消除异方差对参数估计的影响，我们采用幂函数、指数函数以及常数加幂函数对所选方程进行异方差校正，并且通过对比AIC和BIC值选择出最优的误差方差模型。结果表明，变量为
$\hat V$ 的幂函数能较好地消除传统一元和加入形率的二元立木材积模型的异方差性。变量为V的幂函数能很好地消除传统二元和加入形率的三元立木材积模型的异方差性。模型检验结果表明：相对于传统材积模型，加入形率的立木材积模型具有明显优势；相对于传统的一元模型，加入形率后模型的RMSE、MAB、MPB分别降低了33.7%、30.7%、29.9%；相对于传统的二元模型，加入形率后的模型RMSE、MAB、MPB分别降低了70.5%、70.9%、71.2%。传统立木材积模型的检验精度明显低于加入形率后的模型，其中三元立木材积模型（13）预测精度最高，三元模型优于二元模型，二元模型优于一元模型。分径阶比较结果与总体检验结果基本一致，除了对小径阶（5 cm ≤ D < 25 cm）和中等径阶（25 cm ≤ D < 40 cm）的树木，含有树高和胸径变量的二元模型（2）优于含有形率和胸径变量的二元模型（12）。
Bi[26]估计桉树（Eucalyptus fastigata）单木材积时引入树干下部形率，发现相对于传统的二元材积方程，引入形率的二元材积模型能提高41.4%的预测精度。Adesoye等[27]研究发现引入胸高形率和绝对形率的二元材积方程能分别提高柚木（Tectona grandis）8%和29%的材积预测精度。本研究发现传统二元材积模型引入胸高形率能提高樟子松70.5%的预测精度。
综上所述，立木材积的准确估算在林业和生态领域变得越来越重要，加入形率的传统材积模型能较大地提高樟子松立木材积的预测精度。当前各种测树仪器的出现也使树干形率的测量变为现实。在应用立木材积模型去估算林分蓄积量、生物量和碳储量时，大径阶林木立木材积的估计精度尤为重要，因为大径阶林木立木材积以及产生的经济和生态效益占比较大。在实际应用中，若调查样地小径阶（5 cm ≤ D < 25 cm）林木较多，可以考虑使用传统立木材积模型以节约测量成本；若调查样地多为中等径阶（25 cm ≤ D < 40 cm）和大径阶（40 cm ≤ D）林木，则建议使用带有形率的三元立木材积模型（13）。由于不同树种的形率变化较大，因此本研究的结果只适用于大兴安岭樟子松。此外本研究中没有考虑测树器测量误差的影响，建议在使用形率模型前进行误差校正。
Equation construction on standing tree volume of Pinus sylvestris var. mongolica based on different form quotients of trunk
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摘要:
目的立木材积方程在森林生产力、生物量和碳储量等林业问题方面都有着广泛的应用。因此，提高立木材积的预测精度一直是林业模型研究者的重要任务。本研究以大兴安岭樟子松为研究对象，构建含有不同形率的二元和三元材积方程，并对比检验其预测效果，旨在把传统立木材积的预测精度提高到一个新的水平。 方法利用15个树干不同形率，基于传统的一元和二元立木材积方程分别建立二元和三元立木材积方程，并与传统的一元和二元材积方程比较。通过对各模型进行拟合选出最优形率模型，具体选用统计软件S-PLUS中的广义非线性模块（GNLS）进行拟合。并利用幂函数、指数函数以及常数加幂函数校正在拟合过程中各立木材积模型表现的异方差现象。选择确定系数（R2）、均方根误差（RMSE）、平均误差绝对值（MAB）和相对误差绝对值（MPB）4个指标对模型进行评价。最终采用分径阶比较法比较不同径阶范围内4种方程的预测精度。 结果基于相对树高70%处形率的二元模型拟合效果最好，基于相对树高50%处形率的三元模型拟合效果最好。模型检验结果表明：基于传统的一元模型，加入形率后模型的RMSE、MAB、MPB分别降低了33.7%、30.7%、29.9%；基于传统的二元模型，加入形率后的模型RMSE、MAB、MPB分别降低了70.5%、70.9%、71.2%。不同径阶的检验表明：对于小径阶和中等径阶的树木，模型的检验精度顺序为模型（13） > 模型（2） > 模型（12） > 模型（1）；对于大径阶的树木，模型的检验精度顺序为模型（13） > 模型（12） > 模型（2） > 模型（1）。 结论形率因子是干形的重要指标。在传统立木材积模型中引入形率因子可以提高材积的预测精度，因此，对于樟子松立木材积的估算，尤其是中大径阶林分，推荐使用带有形率的三元立木材积模型。 Abstract:ObjectiveThe tree volume equation has been widely used in studying forest productivity, biomass and carbon storage. Therefore, improving the prediction precision of tree volume has always been an important task for forestry model researchers. Two-variable and three-variable volume equations were established based on different form quotients of the trunk, and compared and tested the predictive effects for Pinus sylvestris var. mongolica in Daxing,anling Mountains of northeastern China to improve the prediction precision of traditional tree volume to a new level. MethodUsing the 15 different form quotients of the trunk, two-variable and three-variable volume equations were established based on the traditional one-variable and two-variable volume equations, respectively, and compared with the traditional one-variable and two-variable volume equations. All models were fitted using GNLS in S-PLUS. And the optimal form quotient model was selected. Variance functions (power function, constant plus power function and exponential function) were incorporated into generalized models to decrease heteroscedasticity. And the precision of different individual volume models was evaluated using four factors: mean absolute bias (MAB), mean percentage of bias (MPB), root mean square error (RMSE), and coefficient determination (R2). Finally, the prediction precision of four kinds of equations in different diameter classes was compared by the method of different diameter classes testing. ResultThe results showed that the two-variable model based on 70% of the relative height had the best fitting effect, and the three-variable model based on the relative height of 50% was the best. The model test results showed that based on the traditional one-variable model, the RMSE, MAB and MPB of the model after adding form quotient were reduced by 33.7%, 30.7%, and 29.9%, respectively. Based on the traditional two-variable model, the RMSE, MAB and MPB of the model after adding form quotient, were reduced by 70.5%, 70.9% and 71.2%, respectively. From evaluation results of different diameter classes testing, for small and medium diameter classes, the order of test precision was: model (13) > model (2) > model (12) > model (1); for large diameter classes, the order of test precision was: model (13) > model (12) > model (2) > model (1). ConclusionThe form quotient is an important index of stem form. The introduction of form quotient factor into traditional tree volume model can improve the prediction precision of tree volume. Therefore, the three-variables volume model with form quotient factor is recommended for estimating tree volume of Pinus sylvestris var. mongolica, especially for medium and large diameter trees. -
图 1 基于最小二乘法和加权回归的残差图
a、c、e、g分别为公式（1）、（12）、（2）、（13）材积模型未校正残差图；b、d、f、h分别为公式（1）、（12）、（2）、（13）材积模型校正后残差图。a, c, e, and g are the uncorrected residual graphs of the models (1), (12), (2) and (13), respectively; b, d, f, and h are the corrected residual graphs of the models (1), (12), (2) and (13), respectively.
Figure 1. Residual plots of volume models based on least square
表 1 样木调查因子统计量
Table 1. Statistics in survey factors of sample plots
样本
Sample数值类型
Value type胸径
DBH/
cm树高
Tree height/m材积
Tree volume/m3建模样本
Fitting sample平均值 Mean 36.65 19.81 1.11 最小值 Min. 5.60 7.04 0.01 最大值 Max. 55.90 25.40 2.55 标准差 SD 11.53 3.58 0.64 检验样本
Validation sample平均值 Mean 34.17 19.16 1.00 最小值 Min. 5.30 7.10 0.01 最大值 Max. 50.50 25.19 2.10 标准差 SD 13.16 4.44 0.61 
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表 2 模型参数估计值及其拟合的统计量
Table 2. Parameter estimates and its fitting statistics of models
形率
Form quotienta0 a1 a2 a3 RMSE R2 二元
Two-variable三元
Three-variable二元
Two-variable三元
Three-variable二元
Two- variable三元
Three- variable三元
Three- variable二元
Two variable三元
Three- variable二元
Two- variable三元
Three- variableq0 0.000 3 0.000 10 2.177 5 1.965 0 0.641 0 0.590 8 0.553 2 0.130 3 0.117 2 0.958 3 0.966 3 q0.02 0.000 5 0.000 20 2.142 3 1.937 7 − 0.838 4 0.602 7 − 0.647 9 0.135 3 0.122 1 0.955 1 0.963 4 q0.04 0.000 5 0.000 20 2.104 1 1.931 2 − 1.462 6 0.557 9 − 0.946 1 0.132 9 0.122 1 0.956 6 0.963 4 q0.06 0.000 5 0.000 05 2.128 3 1.981 8 − 0.687 6 0.939 3 2.941 3 0.139 3 0.119 9 0.952 4 0.964 7 q0.08 0.000 3 0.000 05 2.273 2 2.019 0 1.703 4 0.935 5 2.817 2 0.129 9 0.097 6 0.958 6 0.976 6 q0.1 0.000 3 0.000 05 2.305 8 2.051 7 1.677 1 0.866 2 2.216 3 0.120 0 0.088 2 0.964 7 0.980 9 q0.15 0.000 3 0.000 06 2.311 1 2.058 8 1.360 9 0.809 8 1.660 5 0.115 3 0.084 3 0.967 4 0.982 6 q0.2 0.000 3 0.000 06 2.273 9 1.999 7 1.138 5 0.904 3 1.511 4 0.117 2 0.079 8 0.966 3 0.984 4 q0.3 0.000 4 0.000 06 2.263 0 1.961 3 1.082 9 0.970 5 1.448 5 0.109 1 0.061 1 0.970 8 0.990 8 q0.4 0.000 4 0.000 06 2.244 9 1.928 1 0.931 9 1.024 7 1.261 4 0.105 2 0.047 9 0.972 8 0.994 4 q0.5 0.000 5 0.000 10 2.220 9 1.917 7 0.883 1 0.921 3 1.081 0 0.097 8 0.047 5 0.976 5 0.994 6 q0.6 0.000 5 0.000 11 2.241 0 1.967 4 0.696 2 0.808 6 0.777 8 0.097 2 0.059 7 0.976 8 0.991 2 q0.7 0.000 4 0.000 13 2.273 3 2.044 1 0.534 5 0.648 1 0.535 7 0.095 0 0.071 6 0.977 3 0.987 4 q0.8 0.000 4 0.000 15 2.263 9 2.050 8 0.375 9 0.591 2 0.365 4 0.105 7 0.089 7 0.972 6 0.980 6 q0.9 0.000 5 0.000 19 2.238 3 2.043 5 0.239 0 0.532 4 0.217 4 0.111 3 0.099 3 0.969 6 0.975 8 注：q0, q0.02, …, q0.9分别为相对树高0%, 2%, …, 90%处的形率。下同。Notes: q0, q0.02, …, q0.9 are the form quotients at 0%, 2%, …, 90% of the relative tree height, respectively. The same below.
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表 3 材积模型误差方差函数结果比较
Table 3. Comparison of error variance functions of volume models
误差函数
Error function变量
VariableAIC BIC （1） （2） （12） （13） （1） （2） （12） （13） 指数函数
Exponential function$\hat V$ − 231.79 − 278.31 − 335.42 − 611.44 − 219.52 − 262.97 − 320.08 − 593.03 V − 227.00 − 287.35 − 336.62 − 613.13 − 214.72 − 272.01 − 321.28 − 594.72 $\sqrt d $ − 252.55 − 308.66 − 357.77 − 614.92 − 240.27 − 293.31 − 342.42 − 596.50 d − 247.61 − 302.66 − 350.83 − 620.43 − 235.34 − 287.32 − 335.49 − 602.01 d2 − 233.68 − 285.66 − 338.55 − 608.69 − 221.40 − 270.31 − 323.21 − 590.28 ${d^2}h$ − 273.93 − 605.93 − 258.58 − 587.52 幂函数
Power function$\hat V$ − 253.92 − 314.29 − 363.79 − 642.15 − 241.64 − 298.94 − 348.45 − 623.73 V − 248.87 − 324.89 − 363.42 − 645.08 − 236.60 − 309.55 − 348.08 − 626.66 $\sqrt d $ − 250.30 − 306.62 − 361.50 − 622.36 − 238.02 − 291.28 − 346.16 − 603.95 d − 250.30 − 306.62 − 361.50 − 622.36 − 238.02 − 291.28 − 346.16 − 603.95 d2 − 250.30 − 306.62 − 361.50 − 622.36 − 238.02 − 291.28 − 346.16 − 603.95 ${d^2}h$ − 299.89 − 622.91 − 284.55 − 604.50 常数加幂函数
Constant plus power function$\hat V$ − 253.30 − 312.29 − 361.79 − 640.15 − 237.96 − 293.88 − 343.38 − 618.66 V − 248.14 − 323.87 − 361.42 − 643.08 − 232.79 − 305.45 − 343.01 − 621.59 $\sqrt d $ − 251.58 − 308.25 − 359.50 − 620.36 − 236.23 − 289.84 − 341.09 − 598.88 d − 251.58 − 308.25 − 359.50 − 620.36 − 236.23 − 289.84 − 341.09 − 598.88 d2 − 251.58 − 308.25 − 359.50 − 620.36 − 236.23 − 289.84 − 341.09 − 598.88 ${d^2}h$ − 301.27 − 620.91 − 282.85 − 599.43
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表 4 模型参数估计值及其拟合的统计量
Table 4. Parameter estimates and fitting statistics of models
模型
Model自变量
Independent variable参数
Parameter估计值
Estimated valuet P AIC BIC RMSE R2 （1） d1.3 a0 0.000 313 8.109 52 < 0.000 1 − 253.917 3 − 241.641 7 0.140 6 0.951 8 a1 2.236 795 66.702 28 < 0.000 1 （2） d1.3, h a0 0.000 058 8.380 34 < 0.000 1 − 324.893 5 − 309.549 0 0.125 0 0.961 7 a1 1.962 806 47.509 39 < 0.000 1 a2 0.882 123 11.215 36 < 0.000 1 （12） d1.3, q0.7 a0 0.000 351 10.913 04 < 0.000 1 − 363.793 7 − 348.449 2 0.094 8 0.978 0 a1 2.319 327 89.689 35 < 0.000 1 a2 0.562 946 12.714 94 < 0.000 1 （13） d1.3, h, q0.5 a0 0.000 084 19.80 85 < 0.000 1 − 645.077 1 − 626.663 7 0.047 5 0.994 5 a1 1.950 067 127.80 65 < 0.000 1 a2 0.920 944 31.00 70 < 0.000 1 a3 1.055 279 32.26 58 < 0.000 1
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表 5 立木材积模型检验结果
Table 5. Validation results of volume models
模型
Model自变量
Independent variableMAB MPB RMSE R2 （1） d1.3 0.119 3 11.853 1 0.163 4 0.926 1 （2） d1.3, h 0.094 0 9.495 9 0.123 1 0.958 1 （12） d1.3, q0.7 0.082 7 8.305 2 0.108 4 0.967 5 （13） d1.3, h, q0.5 0.027 4 2.733 0 0.036 9 0.996 2
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