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胸径作为林木生长状况和生长潜力判定的重要指标[1]，研究其变化对林木材积估计[2]、立地生产力估算[3]及林分演替规律的描述[4]具有指导意义。线性回归是单木胸径预测的最常用方法，其主要以林分密度、林龄和立地条件作为自变量构建单木胸径预测模型[5-7]。虽然线性回归模型可在一定程度上预测单木胸径，但忽略时间变化、区域分布、环境因素和立地条件的差异性对单木胸径的影响，从而导致大的预测偏差。因此考虑时间变化和区域分布等因素对单木胸径模型的影响尤为必要[8-12]。混合效应模型是一种同时考虑时间变化和区域分布效应的有效模型，现已广泛应用于林木蓄积量[13]、树高[14-15]、林分断面积[16]、单木胸径[9-10,17-18]等方面研究，应用混合效应模型构建单木胸径模型不仅提高单木胸径的预测精度而且为林业工作者的林业调查及决策提供技术支撑。
天山云杉（Picea schrenkiana)作为裸子植物松科的常绿乔木，是新疆山地森林中的优势树种[19]，其分布面积约为52.84 × 104 hm2，占新疆天然林面积的44.9%[20-21]。天山云杉作为新疆天山的优势树种，对新疆山地水源涵养及林区生态系统的形成与维护具有不可代替的作用[22]。现今许多学者对天山云杉林进行了大量研究，但大部分研究关注于土壤有机碳[23-24]、立地指数[25]和林地氮素[26-27]等方面的研究，而对单木胸径的研究较少且应用简单线性模型，预测精度低，因此开展对天山云杉的深入研究可以弥补前人研究的不足，为林业调查提供技术支持。
本研究以2011年和2016年新疆天山北坡林业一类清查中的复位样地为研究对象，应用一般线性和混合效应模型构建新疆天山云杉单木胸径生长模型。主要目的：（1）比较分析一般线性和混合效应模型在天山云杉单木胸径预测精度；（2）不同林分密度和样地效应对天山云杉的胸径生长模型的影响；（3）确定最佳的新疆天山云杉单木胸径生长模型，为天山云杉的经营管理提供理论基础和科学依据。
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研究区位于天山北坡中部山地区（42°19′~ 44°03′N，81°07′~ 86°22′E），主要包括察布查尔锡伯自治县、霍城县、伊宁县、尼勒克县、巩留县、新源县、昭苏县、特克斯县、和静县9个县域，平均海拔在1 640 ~ 2 820 m之间。气候以温带大陆性干旱气候为主，温差极大，年平均气温6.0 ~ 7.2 ℃，年平均最低气温− 3.0 ℃，极端最高气温30.5 ℃，极端最低气温− 30.2 ℃，年降水量相对较丰富，为 450 ~ 800 mm。土层深厚土壤肥沃，土壤以褐土为主。森林植被以天山云杉为主，林下植被主要为新疆圆柏（Sabina vulgaris）、新疆方枝柏（Juniperus pseudosabina）、药用蒲公英（Taraxacum officinale）、天山羽衣草（Alchemilla tianschanica）等。
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本研究以察布查尔锡伯自治县、霍城县、伊宁县、尼勒克县、巩留县、新源县、昭苏县、特克斯县、和静县9个县的2011年和2016年天山北坡林业一类清查复位样地为基础，选取具有代表性的天山云杉纯林样地70块，样地大小为28 m × 28 m，面积为0.078 4 hm2。根据林分密度（ID）将样地分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4部分（表1）。
表 1 天山云杉样地调查因子
Table 1. Survey factors of Picea schrenkiana sample plots
密度水平
Density level样地数
Number of
sample plots土层厚度
Soil thickness/cm林分断面积/
（m2·hm− 2）
Stand basal area/
（m2·ha− 1）建模数据 Modeling data 检测数据 Testing data 初始胸径
Initial DBH/cm胸径生长量
DBH growth/cm初始胸径
Initial DBH/cm胸径生长量
DBH growth/cmⅠ 21 25 ~ 85 1.62 ~ 58.26 5.0 ~ 117.3 0.11 ~ 7.13 5.0 ~ 145.4 0.11 ~ 7.35 Ⅱ 22 25 ~ 80 3.89 ~ 59.02 5.0 ~ 91.6 0.11 ~ 8.20 5.0 ~ 94.9 0.17 ~ 8.64 Ⅲ 17 30 ~ 65 5.13 ~ 58.30 5.0 ~ 68.7 0.12 ~ 7.97 5.0 ~ 49.2 0.13 ~ 7.42 Ⅳ 10 70 ~ 95 2.68 ~ 40.28 5.0 ~ 72.7 0.11 ~ 3.70 5.0 ~ 56.6 0.16 ~ 2.77 注：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别代表林分密度（ID） < 300 株/hm2、300 株/hm2 ≤ ID < 600 株/hm2、600 株/hm2 ≤ ID < 900 株/hm2、ID ≥ 900 株/hm2。Notes: Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ represent stand density (ID) < 300 plant/ha, 300 plant/ha ≤ ID < 600 plant/ha, 600 plant/ha ≤ ID < 900 plant/ha, ID ≥ 900 plant/ha, respectively. 单木胸径用卷尺测量，测得活立木共计1 914株，并调查得到相应的海拔高度、坡度和土壤厚度。以调查得到的1 914株天山云杉数据作为基础，分别计算得到初始胸径对数、初始胸径平方、林分中大于对象木林分断面积之和、林分密度指数、林分断面积、对象木胸径与林分平均胸径之比、林分中大于对象木的所有林木直径平方和、对象木胸径与林分最大胸径之比、海拔、坡度的正切值、坡度和坡率的组合项、土层厚度等14个因子作为构建天山云杉胸径生长模型的预选变量（表2）。
表 2 单木胸径生长模型变量统计
Table 2. Variable statistics on single tree DBH growth model
变量 Variable 变量符号 Variable symbol 最小值 Min. 最大值 Max. 平均值 Mean 初始胸径对数
Logarithm of initial DBH${\rm ln}D$ 1.61 4.97 3.42 初始胸径平方
Square of initial DBH/cm2D2 25 21 141.16 938.44 林分中大于对象木其他林分断面积之和
Sum of basal area of trees larger than objective tree/m2BAL 0 101.09 29.17 林分密度指数
Stand density indexSDI 29.67 9 127.33 1 934.11 林分断面积/(m2·hm− 2)
Stand basal area/(m2·ha− 1)G 1.62 59.02 29.70 对象木胸径与林分平均胸径之比
Ratio of objective tree’s DBH to the mean stand DBHRD 0.14 7.99 1.02 林分中大于对象木的所有林木直径平方和
Sum of diameter square of all trees larger than objective tree/m2DL 0 58 851.7 18 591.35 对象木胸径与林分最大胸径之比
Ratio of objective tree’s DBH to the biggest stand DBHDDM 0.04 1 0.43 海拔
Elevation/mEI 1 640 2 820 2 270 坡度的正切值
Tangent value of slope degree${\rm tan}\mathrm{S}\mathrm{L}$ 0.03 1 0.46 坡度正切值的平方
Square of the tangent value of slope degree$ ({\rm tan}\mathrm{S}\mathrm{L})^2$ 0.01 1 0.28 坡度和坡率的组合项
Slope degree and slope rate combination${\rm tan}\mathrm{S}\mathrm{L}·{\rm sin}\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{E}$ − 1 0.71 − 0.04 ${\rm tan}\mathrm{S}\mathrm{L}·{\rm cos}\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{E}$ − 0.49 0.90 0.26 土层厚度
Soil thickness/mST 0.25 0.95 0.59 -
前人研究建立与距离无关的单木胸径生长模型能很好预估单木胸径的生长[28-31]，其模型建立时应以单木胸径平方生长量为因变量，树木大小因子、林木竞争因子和立地条件为自变量建立的单木胸径生长方程模拟效果最好[32-34]。由于生长量可能存在为0的情况，当生长量小于1时，对数据进行拟合过程中一些小的变化可能会导致较大的误差[6,9]，因此其公式为：
$$ {\rm ln}(1+{\Delta D}^{2})={a}_{0}+f(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{e})+f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p})+f (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}) $$ (1) 式中：
$ {\Delta D}^{2} $ 为天山云杉胸径每5年胸径平方生长量，$ {a}_{0} $ 为截距，$f({\rm size})$ 为林木大小因子函数，$f({\rm comp})$ 为林木竞争因子函数，$f({\rm site})$ 为立地条件函数。方差膨胀因子（VIF）作为判定变量间共线性的重要指标[35]，现已广泛应用于变量初筛选，当VIF < 2时表明变量间不存在共线性，可用于模型的构建。回归分析共挑选出VIF < 2的自变量5个分别为初始胸径对数（
$ \mathrm{ln}D $ ）、林分每公顷断面积（G）、土层厚度（ST）、林分密度指数（SDI）、海拔（EI），由于自变量太多不仅会增加外业调查难度，同时会使混合效应模型过于复杂，故删去对方程贡献较小的林分密度指数（SDI）和海拔（EI）变量。选取初始胸径对数（$ \mathrm{ln}D $ ）、林分每公顷断面积（G）和土层厚度（ST）3个林分因子作为输入变量进行天山云杉胸径生长模型的构建。为探究模型的预测精度，本研究将样本量为1 914的天山云杉的分为80%的训练样本（1 531）、20%的验证样本（383）两部分，根据公式（2）计算得到天山云杉胸径的生长模型：$$ {\rm ln}(1+{\Delta D}^{2})={a}_{0}+{b}_{1}{\ln}D-{b}_{2}G+{b}_{3}{\rm ST} $$ (2) 式中：
$ {a}_{0} $ 为模型截距，$ {b}_{1} $ 、${b}_{3} $ 、$ {b}_{3} $ 为回归系数，${\rm ln}D$ 为初始胸径对数，G为林分每公顷断面积，$\rm ST$ 为土层厚度。 -
线性混合效应模型与模型的随机效应密切相关[36]，其中密度水平、样地效应和时间效应是影响模型精度的主要部分，因此本研究从密度水平、样地效应和时间效应3个方面构建天山云杉胸径生长的混合效应模型。
密度水平效应单线性混合效应模型：
$$\begin{aligned} \ln(1 + \Delta {D^2}_{ik}) = & {a_0} + {a_0}{m_{0i}} + ({a_1} + {m_{1i}})\ln{D_{ik}} - \\ & ({a_2} + {m_{2i}}){G_{ijk}} + ({a_3} + {m_{3i}}){\rm{S}}{{\rm{T}}_{ik}} + {{{\varepsilon }} _{ik}} \end{aligned} $$ (3) $$ \left( {{{{\varepsilon }} _{ik}}} \right)\sim {\bf{N}}\left( {0,{{{R}}_i}} \right) $$ (4) $$ {\left( {{m_{0i}}\;\;{m_{1i}}\;\;{m_{2i}}\;\;{m_{3i}}} \right)^{\rm{T}}}\sim {\bf{N}}\left( {0,\;\;{{{D}}_m}} \right) $$ (5) 样地效应单线性混合效应模型：
$$\begin{aligned} {\ln}(1+{{\Delta D}^{2}}_{jk})= & {a}_{0}+{a}_{0}{u}_{0j}+({a}_{1}+{u}_{1j}){\ln}{D}_{jk}-\\ & ({a}_{2}+{u}_{2j}){G}_{jk}+({a}_{3}+{u}_{3j}){\rm{ST}}_{jk}+{{\varepsilon }}_{jk}\end{aligned} $$ (6) $$ \left( {{{{\varepsilon }} _{jk}}} \right)\sim {\bf{N}}\left( {0,\;{{{R}}_j}} \right) $$ (7) $$ {\left( {{u_{0i}}\;\;{u_{1i}}\;\;{u_{2i}}\;\;{u_{3i}}} \right)^{\rm{T}}}\sim {\bf{N}}\left( {0,\;\;{{{D}}_u}} \right) $$ (8) 嵌套两水平混合效应模型：
$$ \begin{aligned} {\rm ln}(1 + \Delta {D^2}_{ijk}) = &{a_0} + {a_0}{m_{0i}} + {a_0}{u_{0ij}} + ({a_1} + {m_{1i}} + \\ & {u_{1ij}}){\rm ln}{D_{ijk}} - ({a_2} + {m_{2i}} + {u_{2ij}}){G_{ijk}} + \\ & ({a_3} + {m_{3i}} + {u_{3ij}}){{\rm ST}_{ijk}} + {{{\varepsilon }} _{ijk}} \end{aligned} $$ (9) $$ \left( {{ {{\varepsilon }} _{ijk}}} \right)\sim {\bf{N}}\left( {0,\;{{{R}}_{ij}}} \right) $$ (10) $$ {\left( {{m_{0i}}\;\;{m_{1i}}\;\;{m_{2i}}\;\;{m_{3i}}} \right)^{\rm T}}\sim {\bf{N}}\left( {0,\;{{ D}_m}} \right) $$ (11) $$ {\left( {{u_{0ij}}\;\;{u_{1ij}}\;\;{u_{2ij}}\;\;{u_{3ij}}} \right)^{\rm{T}}}{\bf{N}} \left( {0,\;{{ D}_u}} \right) $$ (12) 式中：i为密度水平编号、j为样地编号、k为样木编号、
$ {m}_{0i}{\text{、}}{m}_{1i}{\text{、}}{m}_{2i}{\text{、}}{m}_{3i} $ 分别为密度水平随机效应参数、$ {u}_{0j}{\text{、}}{u}_{1j}{\text{、}}{u}_{2j}{\text{、}}{u}_{3j} $ 分别为样地随机效应参数；${ {{\varepsilon }} _{ik}}$ 、${ {{\varepsilon }} _{jk}}$ 、${ {{\varepsilon }} _{ijk}}$ 为残差向量、${ D}_{m}$ 为密度水平随机参数的方差协方差结构矩阵、$ { D}_{u} $ 为样地间随机参数的方差协方差结构矩阵。在构建混合效应模型时需要确定以下3种结构。
（1）模型参数的确定。Pinheiro等提出先将模型中所有参数都看作随机效应参数,将不同参数组合进行模拟[36]，通过比较赤池信息准则（AIC）、贝叶斯信息准则（BIC）和最大似然估计（log-likelihood）值来选择收敛且模拟精度较高的模型来进行效果评价。其中AIC和BIC越小，log-likelihood值越大模型被确定为最优模型。
（2）误差的方差协方差的确定。林业中常用于描述方差协方差结构表达式为：
$$ { R}_{i}={\sigma }_{i}^{2}{ \varPsi }_{i}^{0.5} { \varGamma }_{i}(\theta) { \varPsi }_{i}^{0.5} $$ (13) 式中：
${ R}_{i}$ 为样地内方差协方差矩阵，$ {\sigma }_{i}^{2} $ 为残差的方差，${ \varPsi }_{i}$ 为描述密度水平或样地效应内误差方差结构的异质性方差的对角矩阵，${ \varGamma }_{i}(\theta)$ 是描述时间误差的自相关结构矩阵。本研究分别采用了一阶自回归矩阵AR（1）、一阶自回归及滑动平滑矩阵ARMA（1，1）来描述胸径生长的时间相关性，采用2种异方差结构幂函数和指数函数来消除异方差性[9,13-15]。
（3）随机参数协方差结构的确定。随机参数协方差结构描述密度水平（样地）间的可变性。本研究列举一种包括2个随机参数（u、v）的方差协方差结构，u、v分别为模型参数，
$ {\varphi }_{1} $ 、${\varphi }_{2} $ 的随机效应参数，其结构如下：$$ { \varphi }_{i}=\left[\begin{array}{c}{u}_{i}\\{v}_{i}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}{{\sigma }_{u}}^{2}& {\sigma }_{uv}\\ {\sigma }_{vu}& {{\sigma }_{v}}^{2}\end{array}\right] $$ (14) 式中：
$ {{\sigma }_{u}}^{2} $ 、${{\sigma }_{v}}^{2} $ 分别为随机参数u、v的方差，$ {\sigma }_{vu}= {\sigma }_{uv} $ 为随机参数u和v的协方差。 -
本研究在模型构建时是从总体样本（1 914）中随机抽选的训练样本（1 531），应用训练样本构建的天山云杉单木胸径混合效应模型其模型的随机效应同样适用于检验样本，所以研究在对模型进行检验时不需重新计算随机效应。模型采用平均绝对值误差（
$ \left|\bar {E}\right| $ ）、均方根误差（$ \mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E} $ ）、平均预估误差（MPE）、总相对误差（TRE）、调整决定系数（$ {R}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{2} $ ）对模型精度进评价，其中对4项误差指标进行验证时将模型求得数据换算为胸径后进行检验：$$ \left|\bar {E}\right|=\left|\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{{n}_{i}}\frac{\left({y}_{ij}-{\hat{y}}_{ij}\right)}{n}\right| $$ (15) $$ {\rm RMSE}=\sqrt{\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{{n}_{i}}\frac{{({y}_{ij}-{\hat{y}}_{ij})}^{2}}{n}} $$ (16) $$ {\rm MPE}=\frac{1}{n}{t}_{\alpha}\left(\frac{\sqrt{\displaystyle\sum _{i=1}^{m}\displaystyle\sum _{j=1}^{{n}_{i}}\frac{{({y}_{ij}-{\hat{y}}_{ij})}^{2}}{n-p}}}{{\bar {y}}_{ij}}\right)\times 100 \%$$ (17) $$ {\rm TRE}=\frac{\displaystyle\sum _{i=1}^{m}\displaystyle\sum _{j=1}^{{n}_{i}}({y}_{ij}-{\hat{y}}_{ij})}{\displaystyle\sum _{i=1}^{m}\displaystyle\sum _{j=1}^{{n}_{i}}{\hat{y}}_{ij}}\times 100 \%$$ (18) $$ {R}_{\rm adj}^{2}=1-\frac{(n-1)}{(n-p)}\frac{\displaystyle\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{{n}_{i}}{\left({y}_{ij}-{\hat{y}}_{ij}\right)}^{2}}{\displaystyle\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{{n}_{i}}{\left({y}_{ij}-{\bar {y}}_{ij}\right)}^{2}} $$ (19) 式中：
$ {y}_{ij} $ 为样本预测值，${\hat{y}}_{ij}$ 为样本实际值，$ {\bar {y}}_{ij} $ 为因变量观测的平均值，m为样地个数，$ {n}_{i} $ 为第$ i $ 块样地连续观测次数，$ n $ 为样本个数，p为参数个数，${t}_{\alpha}$ 为置信水平$ \mathrm{\alpha } $ 时$ t $ 的值；本研究中m、$ i $ 、n、$ p $ 分别为70、2、383、3。 -
密度水平效应、样地效应、以及嵌套两水平效应是影响混合效应模型精度的主要因子，其中随机参数效应会因参数及其组合的差异而产生出多种模拟结果。因此，判定最优的随机效应参数组合对提高胸径模型的拟合效果具有重要的意义。
经过分析及模型拟合可知，不同的参数组合模型的拟合效果存不同，仅考虑密度效应共存在14种组合，其中
$ {a}_{0} $ 、$ \mathrm{ln}D $ 和$ \mathrm{T}\mathrm{H}\mathrm{I}\mathrm{C}\mathrm{K} $ 3个参数的拟合效果最好，AIC、BIC、log-likelihood分别为3 637.886、3 696.549和−1 807.943。样地效应中共有14种组合，由AIC、BIC和log-likelihood 3个指标可知，随机效应参数为2个时变量$ {a}_{0} $ 、${\rm ln}D $ 拟合效果最好，AIC、BIC和log-likelihood分别为3 304.003、3 346.667和− 1 644.002。嵌套两水平中共有196种组合，随机效应参数为4个时（密度水平$ {a}_{0} $ 、样地$ {a}_{0} $ 、密度水平$ {\rm ln}D、$ 和样地$ \mathrm{\rm ln}D $ ），嵌套两水平的效应最好。就AIC、BIC和log-likelihood而言嵌套两水平模型模拟效果优于样地效应模型，优于密度水平效应，AIC大小分别为：3 638 > 3 304 > 3 208（表3）。表 3 不同随机效应的最佳参数组合
Table 3. Optimal combination of parameters for different random effects
模型
Model随机参数
Random parameter参数数量
Number of parametersAIC BIC log-likelihood 密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model$ {a}_{0} $，${\rm ln}D$，ST 12 3 638 3 697 − 1 808 样地混合效应模型
Sample plot mixed effects model$ {a}_{0} $，${\rm ln}D$ 9 3 304 3 347 − 1 644 嵌套两水平混合效应模型
Nesting two-level mixed effects model密度水平 Density level：$ {a}_{0} $，lnD；
样地Sample plot：a0，lnD12 3 208 3 217 − 1 643 -
异方差结构和时间自相关影响混合模型的精度，本研究采用幂函数和指数函数来消除数据间异方差的影响。由表4可知，所有模型中幂函数是消除异方差的最佳函数，且比较AIC、BIC、log-likelihood值可知嵌套两种水平混合效应模型拟合效果最佳（AIC = 3 003），密度水平拟合效果最差（AIC = 3 486），拟合效果由大到小依次为：嵌套两水平效应 > 样地效应 > 密度水平效应。
表 4 选用不同异方差结构模型拟合效果比较
Table 4. Comparison of fitting effects using different heteroscedasticity structure models
模型
Model异方差结构
Heteroscedasticity structureAIC BIC log-likelihood 密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model无
None3 638 3 697 − 1 808 幂函数
Power function3 486 3 550 − 1 731 指数函数
Exponential function3 556 3 620 − 1 766 样地混合效应模型
Sample plot mixed effects model无 None 3 304 3 347 − 1 644 幂函数
Power function3 195 3 243 − 1 589 指数函数
Exponential function3 253 3 301 − 1 618 嵌套两水平混合效应模型
Nesting two-level mixed effects model无
None3 208 3 217 − 1 643 幂函数
Power function3 003 3 047 − 1 589 指数函数
Exponential function3 203 3 213 − 1 617 连续清查数据存在时间自相关结构，其时间效应是影响混合效应模型的主要因子。通常使用一阶自回归矩阵AR（1）及滑动平滑矩阵ARMA（1，1）来探究时间自相关结构对模型的影响。由表5可知，考虑时间效应的影响拟合效果优于非时间效应，且一阶自回归矩阵AR（1）的时间效应模型最佳。就不同模型的效应而言，嵌套两水平的效果最好，AIC由3 208降到3 019，下降了189；密度水平效应拟合效果最差，AIC由3 638降到3 540，下降了98。时间效应的效果大小依次为：嵌套两水平（AIC = 3 019） > 样地效应（AIC = 3 278） > 密度水平效应（AIC = 3 540）。
表 5 选用不同自相关结构模型模拟效果比较
Table 5. Comparison of simulation effects using different autocorrelation structure models
模型
Model时间序列相关结构
Correlation structure of time seriesAIC BIC log-likelihood 密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model无 None 3 638 3 697 − 1 808 AR（1） 3 540 3 604 − 1 808 ARMA（1，1） 3 542 3 611 − 1 808 样地混合效应模型
Sample plot mixed effects model无 None 3 304 3 347 − 16 448 AR（1） 3 278 3 253 − 16 438 ARMA（1，1） 3 301 3 333 − 1 642 嵌套两水平混合效应模型
Nesting two-level mixed effects model无 None 3 208 3 217 − 16 438 AR（1） 3 019 3 173 − 1 643 ARMA（1，1） 3 200 3 213 − 16 428 -
上述研究表明不同效应、异方差结构和时间序列影响混合效应模型，分析不同效应对混合模型的影响后得到表6。
表 6 不同模型参数拟合结果
Table 6. Fitting results of different model parameters
模型
Model参数估计值
Parameter estimate随机效应方差矩阵
Random effect variance matrix异方差结构
Heteroscedasticity structure时间序列相关性
Time series correlation$ {a}_{0} $ $ \mathrm{ln}D $ $ G $ $ \mathrm{T}\mathrm{H}\mathrm{I}\mathrm{C}\mathrm{K} $ 传统模型
Traditional model− 0.159 1.268 − 0.016 0.008 密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model− 0.108 9 1.119 3 − 0.009 5 0.014 1 ${ D} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c} }{1.119\;0}&{0.214\;5}&{0.003\;9}\\{0.214\;5}&{0.046\;0}&{0.065\;6}\\{0.003\;9}&{0.065\;6}&{0.000\;02}\end{array} } \right]$ − 0.645 5 0.021 4 样地混合效应
模型
Sample plot mixed effects model0.037 7 1.169 5 − 0.011 7 0.011 4 ${ D}=\left[\begin{array}{cc}0.065 \; 5& 0.010 \; 9\\ 0.010 \; 9& 0.003 \; 8\end{array}\right]$ − 0.632 0 0.056 4 嵌套两水平
混合效应模型
Nesting two-level
mixed effects model− 0.180 2 1.211 2 − 0.011 3 0.011 7 ${ {D} }_{1}$=$ \left[\begin{array}{cc}0.175 \; 6& 0.095 \; 4\\ 0.095 \; 4& 0.009 \; 1\end{array}\right] $
${ {D} }_{2}$=$ \left[\begin{array}{cc}1.775 \; 7& 0.023 \; 1\\ 0.023 \; 1& 0.134 \; 4\end{array}\right] $− 0.690 3 0.056 0 为进一步定量得到最优天山云杉单木胸径模型，本研究对不同效应模型进行评判（表7），研究表明嵌套两水平混合效应模型的调整绝对系数（
$ {R}_{\rm adj}^{2} $ ）值和平均预估误差值（$ \mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{E} $ ）均高于单水平混合效应模型。模型验证得到的总相对误差（$ \mathrm{T}\mathrm{R}\mathrm{E} $ ）值均在 ± 3%之间，且嵌套两水平混合效应模型的总相对误差更接近于0。嵌套两水平混合模型的平均绝对误差（$ \left|\bar {E}\right| $ ）和平均均方根误差（$ \mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E} $ ）值分别为0.589 cm和0.804 cm，相对于密度水平降低了22.60%和36.79%；相对于样地效应降低了15.73%和27.96%，相对于传统模型降低了45.81%和45.79%。表明3种混合效应模型的拟合精度均高于传统模型，嵌套两水平混合效应模型拟合精度最高（$ {R}_{\rm adj}^{2} $ = 0.899），样地效应和密度水平效应混合模型相差不大，其中样地效应模型拟合精度（$ {R}_{\rm adj}^{2} $ = 0.766）优于密度水平效应（$ {R}_{\rm adj}^{2} $ =0.762）。鉴于此本研究表明嵌套两种水平混合效应模型可作为新疆天山云杉单木胸径模型。表 7 不同模型拟合统计量
Table 7. Fitting statistics of different models
模型
Model传统模型
Traditional model密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model样地混合效应模型
Sample plot mixed effects model嵌套两水平混合模型
Nesting two-level mixed effects model$ \left|\bar {E}\right| $/cm 1.087 0.761 0.699 0.589 $\rm RMSE$/cm 1.483 1.272 1.116 0.804 $\rm TRE$/% 0.248 0.244 0.221 − 0.042 $\rm MPE$/% 1.413 1.243 1.062 0.966 ${R}_{\rm adj}^{2}$ 0.505 0.762 0.766 0.899 -
本研究为探究混合效应模型在新疆天山云杉胸径反演的效果，对比分析传统模型和密度水平混合效应模型的
$\left| {\bar E} \right|$ 、$R_{\rm adj}^2$ 、RMSE、TRE、MPE（图1）。为进一步分析不同模型的预测效果，本研究应用20%的样本数据进行验证，由图2可知，不同模型的预测效果存在差异，其中密度水平混合模型的预测值和真实值间的关系较之传统模型更接近1∶1线，传统模型存在明显的低估现象。
图 1 传统胸径模型和密度水平混合效应模型比较
Figure 1. Comparison of traditional DBH model and density level mixed effects model
图 2 传统模型和密度水平混合效应模型的真实值和预测值的关系
Figure 2. Relationship between actual values and predicted values of traditional model and density level mixed effects model
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本研究对比分析混合效应模型和传统胸径模型在新疆天山云杉单木胸径中的应用，研究表明混合效应模型对单木胸径的反演优于传统胸径模型，究其原因主要与模型的性质有关，传统模型仅考虑影响胸径的主要因子，而混合效应模型考虑主要影响因子时同时关注密度水平效应、样地效应及时间效应的影响[36-37]，这与李春明等[9]、符利勇等[38-39]研究一致。
密度效应对林木的胸径生长[40]、树高[41]、林木更新[42]、林冠生长[43]、单株材积[44]、等有很明显的影响，选取密度作为随机效应能描述不同林分密度对天山云杉胸径生长的影响提升模型的估测精度，同时对林木密度进行分组还能对不同组进行量化比较，体现不同组分间的差异性。样地效应能准确的描述不同样地天山云杉单木胸径生长的情况，本研究表明样地混合效应模型能力优于密度效应，究其原因主要与天山云杉的分布密切相关，存在明显的异质性。本研究中表明密度和样地效应相结合可准确预测天山云杉的胸径生长，因此方法和模型可用于精确预测天山云杉的胸径生长。如将模型应用于其他样地和领域时，需重新计算样地水平的随机效应参数，以提高模型的预测精度。
本研究表明密度水平效应和样地效应综合影响单木胸径模型的构建，其中对嵌套两水平效应的影响最大，样地效应的影响力优于密度水平效应，究其原因主要与天山云杉生长环境密切相关，林分密度越高，对土壤、光照等需求竞争激烈，抑制胸径的生长，反之，促进胸径的生长；样地的分布差异体现云杉生长环境的差异，例如高坡度区生长环境较为恶劣，不利于云杉胸径生长，而平坦区域生长环境较好，促进云杉胸径的生长。本研究中表明密度水平和样地效应综合影响天山云杉的胸径的生长，这与肖锐等[45]、王少杰等[13]的研究结果相似。
在林木生长的全过程中生物因子和非生物因子起着重要作用。较好的土壤微生物群落会促进林木根系的发育[46]，林分特征因子可以反应林木生存竞争的强弱[47]，严重的病虫害会大大降低林木的更新和发育[48]，适宜的海拔[49]、坡度[50]、降雨[51]、积温[52]能促进林木生长发育。但为降低模型的复杂程度，提高模型的推广能力，本研究选取海拔、坡度等因子忽略生物因子（土壤微生物）和非生物因子（降水、生长季积温）。在今后研究中，会综合考虑多因子对天山云杉胸径生长的影响。
异方差结构和时间自相关性作为影响混合效应模型的主要参数，明显影响混合效应模型[53-54]，本研究中幂函数和指数函数消除异方差结构效应明显优于传统模型，这与樊伟等研究基本一致[15]。一阶矩阵和滑动矩阵是消除数据时间自相关的主要手段，一阶矩阵和滑动矩阵明显提高预测精度，其中一阶矩阵的消除效果最好。所有效应中，嵌套密度水平效应和样地效应的模型对异方差和时间自相关的效应反应最为明显，主要原因是嵌套密度水平效应和样地效应模型在方差结构和时间相关性方面敏感于单一效应，天山地形起伏度大，林地效应差异明显，不同的林分密度的方差结构和时间自相关存在差异，而嵌套两种水平的模型存在明显的样地和密度效应，因此嵌套两种水平的模型受异方差结构和时间自相关性的影响最大。
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（1）利用AIC、BIC和log-likelihood 3个指标来评价模型拟合的状况，研究表明混合效应模型对天山云杉单木胸径的拟合效果优于传统模型，其中密度混合效应模型的
$ {R}_{\rm adj}^{2} $ 为0.762，传统模型的$ {R}_{\rm adj}^{2} $ 为0.505。（2）构建混合效应模型时考虑数据的水平效应、随机效应、异方差性和时间效应等因子的影响。就所有因子而言嵌套两水平的效应最佳，样地效应次之，密度水平效应最差。在所有模型中幂函数最有效消除数据间异方差的影响，一阶自回归矩阵AR（1）可以有效消除数据的时间相关效应。
（3）嵌套两水平混合效应模型的调整绝对系数（
$ {R}_{\rm adj}^{2} $ ）值高于单水平混合效应模型。嵌套两水平混合模型的平均绝对误差（$ \left|\bar {E}\right| $ ）和平均均方根误差（$\rm RMSE $ ）值分别为0.589 cm和0.804 cm。此模型的建立为林业经营管理部门估计未来天山云杉胸径生长走向提供数据支撑。
Predicting model construction of single tree DBH of Picea schrenkiana in Xinjiang of northwestern China based on mixed effects model
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摘要:
目的 建立新疆天山云杉单木胸径生长模型，以期对天山云杉胸径生长进行预测，为天山云杉经营管理提供理论依据。 方法 以天山云杉为研究对象，基于新疆自治区一类清查数据中70块天山纯林复测样地，样地中测得活立木共计1 914株，随机选取1 531组数据作为训练数据，383组数据作为检验数据。对比分析传统单木胸径模型和混合效应模型在云杉单木胸径模型的应用，在运用R语言的nlme模块构建混合效应模型时考虑密度水平效应、样地效应以及嵌套两水平效应，并用平均绝对误差（ $ \left|\bar {E}\right| $ ）、均方根误差（RMSE）、平均预估误差（MPE）、总相对误差（TRE）、调整决定系数（${R}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{2} $ ）来检验模型的拟合效果。结果 混合效应模型（ $ {R}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{2} $ = 0.762）优于传统胸径模型（$ {R}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{2} $ = 0.505）。混合效应模型中，基于嵌套两水平混合效应模型最好，其平均绝对误差（$ \left|\bar {E}\right| $ ）、均方根误差$ (\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}) $ 、平均预估误差（MPE）、总相对误差（TRE）、调整决定系数（$ {R}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{2} $ ）值分别为0.589 cm、0.804 cm、0.966%、− 0.042%、0.899。混合效应模型拟合效果由高到低依次为：嵌套两水平混合效应模型（$ {R}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{2} $ = 0.899）>样地混合效应模型（$ {R}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{2} $ = 0.766）>密度水平混合效应模型（$ {R}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{2} $ = 0.762）。幂函数能有效消除异方差结构的影响，一阶自回归矩阵 AR （1）可以有效消除数据的时间相关效应。结论 研究求得的天山云杉单木胸径生长混合效应模型可作为新疆天山云杉单木胸径预测的主要模型，其中嵌套密度水平效应和样地效应的混合效应模型对单木胸径的预测效果最好（ $ {R}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{2} $ =0.899），此研究表明混合效应模型是新疆天山云杉单木胸径预测的有效方法，为大面积新疆天山云杉单木胸径预测提供理论基础及新的方法。Abstract:Objective This paper aims to establish a single tree DBH growth model of Picea schrenkiana in Xinjiang of northwestern China in order to predict the DBH growth of Picea schrenkiana and provide a theoretical basis for the forestry department to manage P. schrenkiana forest . Method Taking Picea schrenkiana as the research object, based on the 70 pieces of Tianshan Mountain pure forest retesting sample plots in Xinjiang, a total of 1 914 viable standing trees were measured in the sample plots, and 1 531 sets of data were randomly selected for training data, 383 sets of data for test data. Contrasting and analyzing the application of traditional single-tree DBH model and mixed effects model in the spruce single-tree DBH model, considering the density level effect, sample plot effect and nesting two-level effect when using the R language nlme module to construct the mixed effects model, and using the average absolute error $ (\left|\bar {E}\right|) $ , root mean square error$\rm (RMSE)$ , average prediction error ($\rm MPE$ ), total relative error ($\rm TRE$ ) to test the fitting effects of the model.Result The mixed effects model ( ${R}_{\rm adj}^{2}$ = 0.762) was superior to the traditional breast diameter model (${R}_{\rm adj}^{2}$ = 0.505). In the mixed effects model, that based on the nesting two-level was the best. The average absolute error$ (\left|\bar {E}\right|) $ , the root mean square error$(\rm RMSE)$ , the average prediction error ($\rm MPE$ ), the total relative error ($\rm TRE$ ), and the adjustment decision coefficient$({R}_{\rm adj}^{2})$ were 0.589 cm, 0.804 cm, 0.966%, − 0.042%, 0.899, respectively. The fitting effect of mixed effects model from high to low was: nesting two-level mixed effects model (${R}_{\rm adj}^{2}$ = 0.899) > sample plot mixed effects model (${R}_{\rm adj}^{2}$ = 0.766) > density level mixed effects model (${R}_{\rm adj}^{2}$ = 0.762). The power function can effectively eliminate the influence of heteroscedastic structure. The first-order autoregressive matrix AR (1) can effectively eliminate the time-dependent effect of the data.Conclusion The mixed model of DBH growth of Picea schrenkiana can be used as the main model for the prediction of DBH diameter in the Picea schrenkiana of Xinjiang, in which the mixed effects model of nesting density level effect and sample plot effect is the best for predicting the DBH diameter ( ${R}_{\rm adj}^{2}$ = 0.899). This study shows that the mixed effects model is an effective method for predicting the single tree DBH of the Picea schrenkiana in Xinjiang, and provides a theoretical basis and a new method for predicting the single tree DBH of the large-scale Xinjiang Picea schrenkiana. -
图 1 传统胸径模型和密度水平混合效应模型比较
Figure 1. Comparison of traditional DBH model and density level mixed effects model
图 2 传统模型和密度水平混合效应模型的真实值和预测值的关系
Figure 2. Relationship between actual values and predicted values of traditional model and density level mixed effects model
表 1 天山云杉样地调查因子
Table 1. Survey factors of Picea schrenkiana sample plots
密度水平
Density level样地数
Number of
sample plots土层厚度
Soil thickness/cm林分断面积/
（m2·hm− 2）
Stand basal area/
（m2·ha− 1）建模数据 Modeling data 检测数据 Testing data 初始胸径
Initial DBH/cm胸径生长量
DBH growth/cm初始胸径
Initial DBH/cm胸径生长量
DBH growth/cmⅠ 21 25 ~ 85 1.62 ~ 58.26 5.0 ~ 117.3 0.11 ~ 7.13 5.0 ~ 145.4 0.11 ~ 7.35 Ⅱ 22 25 ~ 80 3.89 ~ 59.02 5.0 ~ 91.6 0.11 ~ 8.20 5.0 ~ 94.9 0.17 ~ 8.64 Ⅲ 17 30 ~ 65 5.13 ~ 58.30 5.0 ~ 68.7 0.12 ~ 7.97 5.0 ~ 49.2 0.13 ~ 7.42 Ⅳ 10 70 ~ 95 2.68 ~ 40.28 5.0 ~ 72.7 0.11 ~ 3.70 5.0 ~ 56.6 0.16 ~ 2.77 注：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别代表林分密度（ID） < 300 株/hm2、300 株/hm2 ≤ ID < 600 株/hm2、600 株/hm2 ≤ ID < 900 株/hm2、ID ≥ 900 株/hm2。Notes: Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ represent stand density (ID) < 300 plant/ha, 300 plant/ha ≤ ID < 600 plant/ha, 600 plant/ha ≤ ID < 900 plant/ha, ID ≥ 900 plant/ha, respectively. 
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表 2 单木胸径生长模型变量统计
Table 2. Variable statistics on single tree DBH growth model
变量 Variable 变量符号 Variable symbol 最小值 Min. 最大值 Max. 平均值 Mean 初始胸径对数
Logarithm of initial DBH${\rm ln}D$ 1.61 4.97 3.42 初始胸径平方
Square of initial DBH/cm2D2 25 21 141.16 938.44 林分中大于对象木其他林分断面积之和
Sum of basal area of trees larger than objective tree/m2BAL 0 101.09 29.17 林分密度指数
Stand density indexSDI 29.67 9 127.33 1 934.11 林分断面积/(m2·hm− 2)
Stand basal area/(m2·ha− 1)G 1.62 59.02 29.70 对象木胸径与林分平均胸径之比
Ratio of objective tree’s DBH to the mean stand DBHRD 0.14 7.99 1.02 林分中大于对象木的所有林木直径平方和
Sum of diameter square of all trees larger than objective tree/m2DL 0 58 851.7 18 591.35 对象木胸径与林分最大胸径之比
Ratio of objective tree’s DBH to the biggest stand DBHDDM 0.04 1 0.43 海拔
Elevation/mEI 1 640 2 820 2 270 坡度的正切值
Tangent value of slope degree${\rm tan}\mathrm{S}\mathrm{L}$ 0.03 1 0.46 坡度正切值的平方
Square of the tangent value of slope degree$ ({\rm tan}\mathrm{S}\mathrm{L})^2$ 0.01 1 0.28 坡度和坡率的组合项
Slope degree and slope rate combination${\rm tan}\mathrm{S}\mathrm{L}·{\rm sin}\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{E}$ − 1 0.71 − 0.04 ${\rm tan}\mathrm{S}\mathrm{L}·{\rm cos}\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{E}$ − 0.49 0.90 0.26 土层厚度
Soil thickness/mST 0.25 0.95 0.59
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表 3 不同随机效应的最佳参数组合
Table 3. Optimal combination of parameters for different random effects
模型
Model随机参数
Random parameter参数数量
Number of parametersAIC BIC log-likelihood 密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model$ {a}_{0} $ ，${\rm ln}D$ ，ST12 3 638 3 697 − 1 808 样地混合效应模型
Sample plot mixed effects model$ {a}_{0} $ ，${\rm ln}D$ 9 3 304 3 347 − 1 644 嵌套两水平混合效应模型
Nesting two-level mixed effects model密度水平 Density level： $ {a}_{0} $ ，lnD；
样地Sample plot：a0，lnD12 3 208 3 217 − 1 643
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表 4 选用不同异方差结构模型拟合效果比较
Table 4. Comparison of fitting effects using different heteroscedasticity structure models
模型
Model异方差结构
Heteroscedasticity structureAIC BIC log-likelihood 密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model无
None3 638 3 697 − 1 808 幂函数
Power function3 486 3 550 − 1 731 指数函数
Exponential function3 556 3 620 − 1 766 样地混合效应模型
Sample plot mixed effects model无 None 3 304 3 347 − 1 644 幂函数
Power function3 195 3 243 − 1 589 指数函数
Exponential function3 253 3 301 − 1 618 嵌套两水平混合效应模型
Nesting two-level mixed effects model无
None3 208 3 217 − 1 643 幂函数
Power function3 003 3 047 − 1 589 指数函数
Exponential function3 203 3 213 − 1 617
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表 5 选用不同自相关结构模型模拟效果比较
Table 5. Comparison of simulation effects using different autocorrelation structure models
模型
Model时间序列相关结构
Correlation structure of time seriesAIC BIC log-likelihood 密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model无 None 3 638 3 697 − 1 808 AR（1） 3 540 3 604 − 1 808 ARMA（1，1） 3 542 3 611 − 1 808 样地混合效应模型
Sample plot mixed effects model无 None 3 304 3 347 − 16 448 AR（1） 3 278 3 253 − 16 438 ARMA（1，1） 3 301 3 333 − 1 642 嵌套两水平混合效应模型
Nesting two-level mixed effects model无 None 3 208 3 217 − 16 438 AR（1） 3 019 3 173 − 1 643 ARMA（1，1） 3 200 3 213 − 16 428
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表 6 不同模型参数拟合结果
Table 6. Fitting results of different model parameters
模型
Model参数估计值
Parameter estimate随机效应方差矩阵
Random effect variance matrix异方差结构
Heteroscedasticity structure时间序列相关性
Time series correlation$ {a}_{0} $ $ \mathrm{ln}D $ $ G $ $ \mathrm{T}\mathrm{H}\mathrm{I}\mathrm{C}\mathrm{K} $ 传统模型
Traditional model− 0.159 1.268 − 0.016 0.008 密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model− 0.108 9 1.119 3 − 0.009 5 0.014 1 ${ D} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c} }{1.119\;0}&{0.214\;5}&{0.003\;9}\\{0.214\;5}&{0.046\;0}&{0.065\;6}\\{0.003\;9}&{0.065\;6}&{0.000\;02}\end{array} } \right]$ − 0.645 5 0.021 4 样地混合效应
模型
Sample plot mixed effects model0.037 7 1.169 5 − 0.011 7 0.011 4 ${ D}=\left[\begin{array}{cc}0.065 \; 5& 0.010 \; 9\\ 0.010 \; 9& 0.003 \; 8\end{array}\right]$ − 0.632 0 0.056 4 嵌套两水平
混合效应模型
Nesting two-level
mixed effects model− 0.180 2 1.211 2 − 0.011 3 0.011 7 ${ {D} }_{1}$ =$ \left[\begin{array}{cc}0.175 \; 6& 0.095 \; 4\\ 0.095 \; 4& 0.009 \; 1\end{array}\right] $ ${ {D} }_{2}$ =$ \left[\begin{array}{cc}1.775 \; 7& 0.023 \; 1\\ 0.023 \; 1& 0.134 \; 4\end{array}\right] $ − 0.690 3 0.056 0
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表 7 不同模型拟合统计量
Table 7. Fitting statistics of different models
模型
Model传统模型
Traditional model密度水平混合效应模型
Density level mixed effects model样地混合效应模型
Sample plot mixed effects model嵌套两水平混合模型
Nesting two-level mixed effects model$ \left|\bar {E}\right| $ /cm1.087 0.761 0.699 0.589 $\rm RMSE$ /cm1.483 1.272 1.116 0.804 $\rm TRE$ /%0.248 0.244 0.221 − 0.042 $\rm MPE$ /%1.413 1.243 1.062 0.966 ${R}_{\rm adj}^{2}$ 0.505 0.762 0.766 0.899
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