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基于混合效应模型的人工红松枝下高模型研建

燕云飞 王君杰 姜立春

燕云飞, 王君杰, 姜立春. 基于混合效应模型的人工红松枝下高模型研建[J]. 北京林业大学学报, 2020, 42(9): 28-36. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366
引用本文: 燕云飞, 王君杰, 姜立春. 基于混合效应模型的人工红松枝下高模型研建[J]. 北京林业大学学报, 2020, 42(9): 28-36. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366
Yan Yunfei, Wang Junjie, Jiang Lichun. Construction of the height to crown base mixed model for Korean pine[J]. Journal of Beijing Forestry University, 2020, 42(9): 28-36. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366
Citation: Yan Yunfei, Wang Junjie, Jiang Lichun. Construction of the height to crown base mixed model for Korean pine[J]. Journal of Beijing Forestry University, 2020, 42(9): 28-36. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366

基于混合效应模型的人工红松枝下高模型研建

doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366
基金项目: 国家自然科学基金项目(31570624),黑龙江省应用技术研究与开发计划项目(GA19C006),中央高校基本科研业务费专项(2572019CP15)
详细信息
    作者简介:

    燕云飞。主要研究方向:森林经理。Email:lwyanyunfei@163.com 地址:150040黑龙江省哈尔滨市香坊区和兴路26号东北林业大学林学院

    通讯作者:

    姜立春,教授,博士生导师。主要研究方向:森林经理。Email:jlichun@nefu.edu.cn 地址:同上

  • 中图分类号: S758.5

Construction of the height to crown base mixed model for Korean pine

  • 摘要:   目的  基于帽儿山红松人工林63块样地2 972株红松数据,利用非线性混合模型构建红松枝下高模型,为进一步研究生长与收获模型提供理论依据。  方法  本文首先使用8个常用的枝下高模型,选出最优基础模型;其次,研究林分变量或单木变量对枝下高的影响,建立含林分变量的枝下高模型;最终在基础模型和含林分变量模型的基础上,考虑样地效应对红松枝下高的影响,构建红松枝下高基础混合效应模型和广义混合效应模型。模型用4种抽样方式(随机抽取、抽取最大树、抽取最小树、抽取平均树)和8种样本大小(1 ~ 8株树)对基础混合效应模型和广义混合效应模型进行抽样检验。  结果  Logistic模型拟合精度好,符合生物学意义,且模型形式简单,选为最优基础模型。除树高、胸径以外,大于对象木断面积之和、优势木高和冠幅与枝下高有显著相关性,加入后明显提升模型的拟合精度。枝下高广义混合效应模型的拟合效果要优于其他模型。模型检验结果表明:当应用基础混合效应模型预测时,建议抽取胸径最小的4个样本;当应用广义混合效应模型预测时,建议随机抽取4个样本。  结论  枝下高广义混合效应模型在拟合效果和预测精度方面优于其他3种模型,建议将此模型作为人工红松枝下高模型。当应用广义混合效应模型预测时,建议随机抽取4个样本。
  • 图  1  基本模型(A)、广义模型(B)、基础混合效应模型(C)和广义混合效应模型(D)的残差分布图

    Figure  1.  Residual plots of basic model (A), generalized model (B), basic mixed effect model (C), and generalized mixed effect model (D)

    图  2  不同抽样设计下基础混合效应模型(A)和广义混合效应模型(B)的预测精度

    Figure  2.  Prediction accuracy of basic mixed effect model (A) and generalized mixed effect model (B) based on different sampling designs

    表  1  红松人工林建模数据和检验数据基本统计量

    Table  1.   Statistics of fitting data and validation data of Korean pine plantation

    数据类型
    Data type
    变量
    Variable
    均值
    Mean
    最小值
    Minimum
    最大值
    Maximum
    标准差
    Standard
    deviation
    变异系数
    Coefficient of
    variation
    建模数据
    Fitting data
    枝下高 Height to crown base (HCB)/m 5.27 1.10 13.20 2.49 47.24
    树高 Tree height (H)/m 10.86 3.30 19.60 3.16 29.12
    胸径 DBH (D)/cm 14.78 5.00 36.50 5.99 40.53
    高径比 Height-diameter ratio (RHD) 0.78 0.43 2.68 0.17 22.05
    大于对象木的断面积和/(m2·hm−2)
    Basal area sum larger than subject tree (BAL)/(m2·ha−1)
    1.01 0.00 2.56 0.50 49.54
    冠幅 Crown width (CW)/m 1.66 0.33 4.30 0.44 26.46
    优势木高 Dominant height (HD)/m 17.88 14.90 20.62 1.23 6.86
    检验数据
    Validation data
    枝下高 HCB/m 3.62 0.80 12.10 1.89 52.25
    树高 H/m 9.32 3.20 17.90 2.78 29.81
    胸径 DBH (D)/cm 11.72 5.00 28.20 4.57 38.98
    高径比 RHD 0.83 0.50 1.59 0.16 19.13
    大于对象木的断面积和/(m2·hm−2)
    BAL/(m2·ha−1)
    0.87 0.00 1.40 0.31 35.45
    冠幅 CW/m 1.70 0.78 3.83 0.40 23.73
    优势木高 HD/m 17.93 16.86 19.47 0.81 4.54
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    表  2  候选基础枝下高模型

    Table  2.   Model of HCB candidate

    模型
    Model
    模型表达式
    Model expression
    参考文献
    Reference
    (1) ${\rm{HCB}} = H/\left( {1 + \exp \left( X \right)} \right)$ [31]
    (2) ${\rm{HCB}} = H/\sqrt {\left( {1 + \exp \left( X \right)} \right)} $ [14]
    (3) ${\rm{HCB}} = H/\sqrt[{\rm{6}}]{{\left( {1 + \exp \left( X \right)} \right)}}$ [14]
    (4) ${\rm{HCB}} = H\left( {1 - \exp \left( X \right)} \right)$ [29]
    (5) ${\rm{HCB}} = H\left( {a + \exp \left( X \right)} \right)$ [30]
    (6) ${\rm{HCB} } = H(1 - {{a} }\exp \left( { {X^2} } \right)$ [31]
    (7) ${\rm{HCB} } = H/\sqrt[{{c} }]{ {\left( {1 + a\exp \left( X \right)} \right)} }$ [14]
    (8) ${\rm{HCB}} = H\left( {1 - a\exp \left( {{X^c}} \right)} \right)$ [14]
    注: ac为模型参数; X 为关于林木大小、竞争因子、立地条件的函数,在表中特指X = b0 + b1Db0b1为模型参数。下同。Notes: a and c refer to model parameters; X is the function about tree size competition index and site condition, here in the table, X = b0 + b1D, b0, b1 are model parameters. The same below.
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    表  3  候选模型评价指标和拟合参数

    Table  3.   Evaluation indices and fitting parameters of candidate model

    模型
    Model
    参数
    Parameter
    参数估计值
    Parameter estimate
    拟合优度
    Goodness-of-fit statistics
    R2RMSE
    (1) ${b_0}$ 0.396 4 0.579 5 1.614 8
    ${b_1}$ −0.020 0
    (2) ${b_0}$ 1.633 6 0.577 9 1.617 7
    ${b_1}$ −0.026 9
    (3) ${b_0}$ 5.085 8 0.577 7 1.618 3
    ${b_1}$ −0.050 0
    (4) $a$ 0.561 9 0.578 5 1.616 7
    ${b_0}$ 0.039 0
    ${b_1}$ −0.008 4
    (5) $a$ 不收敛
    No convergence
    ${b_0}$
    ${b_1}$
    (6) $a$ 不收敛
    No convergence
    ${b_0}$
    ${b_1}$
    (7) $a$ 不收敛
    No convergence
    ${b_0}$
    ${b_1}$
    $c$
    (8) $a$ 不收敛
    No convergence
    ${b_0}$
    ${b_1}$
    $c$
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    表  4  不同预测变量组合模型拟合结果

    Table  4.   Model fitting results based on different prediction variables

    变量组合 Variable combinationR2MAERMSE
    0.567 0 1.284 0 1.638 6
    大于对象木的断面积和−优势木高 BAL-HD 0.683 9 1.087 8 1.400 1
    大于对象木的断面积和−林分密度 BAL-N 0.671 1 1.113 2 1.428 1
    大于对象木的断面积和−冠幅 BAL-CW 0.687 4 1.080 3 1.392 3
    大于对象木的断面积和−优势木高−冠幅 BAL-HD-CW 0.700 0 1.050 2 1.363 8
    大于对象木的断面积和−高径比−优势木高 BAL-RHD-HD 0.690 0 1.070 5 1.386 5
    大于对象木的断面积和−优势木高−林分密度 BAL-HD-N 0.690 0 1.088 7 1.386 5
    注:—表示除胸径外,无林分变量添加。Notes: — indicates the models without other stand variables except D.
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    表  5  广义非线性混合模型评价指标

    Table  5.   Evaluation indices of generalized nonlinear mixed model

    随机效应参数
    Random effect parameter
    AICBICLOGLIKLRTP
    P value
    8 167.35 8 207.88 −4 076.67
    ${b_0}$ 7 987.10 8 027.63 −3 985.55 182.24 < 0.000 1
    ${b_0},{d_2}$ 7 969.87 8 021.98 −3 975.93 19.24 < 0.000 1
    ${b_0},{b_1},{d_2}$ 7 815.16 7 890.44 −3 894.58 162.7 < 0.000 1
    注:—表示无随机参数。Note:— indicates the models without random parameters.
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    表  6  模型参数估计和模型拟合统计量

    Table  6.   Parameter estimates and fitting statistics for each model

    项目
    Item
    参数
    Parameter
    不含随机效应模型 Model without random effect 含随机效应模型 Model with random effect
    基础模型
    Base model
    广义模型
    Generalized model
    基础混合效应模型
    Base mixed effect model
    广义混合效应模型
    Generalized mixed effect model
    固定参数
    Fixed parameter
    ${b_0}$ 0.396 4 −1.201 6 0.020 2 −1.739 8
    ${b_1}$ 0.020 0 −0.043 9 0.010 5 −0.024 7
    ${c_1}$ 0.093 9 0.112 8
    ${d_1}$ −0.363 3 −0.276 2
    ${d_2}$ 0.383 7 0.285 9
    方差组成
    Composition of variance
    $\sigma _{{b_0}}^2$ 0.416 6 0.135 4
    $\sigma _{{b_1}}^2$ 0.000 2 0.000 3
    $\sigma _{{d_2}}^2$ 0.054 6
    ${\sigma _{{b_0}{b_1}}}$ −0.008 9 −0.000 7
    ${\sigma _{{b_0}{d_2}}}$ −0.031 9
    ${\sigma _{{b_1}{d_2}}}$ −0.003 0
    拟合统计量
    Fitting statistics
    R2 0.578 1 0.699 5 0.766 7 0.775 2
    MAE 1.284 0 1.051 8 0.926 2 0.905 5
    RMSE 1.617 5 1.364 9 1.202 6 1.180 5
    注:$\sigma _{{b_0}}^2$$\sigma _{{b_1}}^2$$\sigma _{{d_2}}^2$分别为${b_0}$${b_1}$${d_2}$的方差;${\sigma _{{b_0}{b_1}}}$${\sigma _{{b_0}{d_2}}}$${\sigma _{{b_1}{d_2}}}$分别为b0b1b0d2b1d2的协方差;MAE为平均绝对误差,RMSE为均方根误差。Notes: $\sigma _{{b_0}}^2$,$\sigma _{{b_1}}^2$, $\sigma _{{d_2}}^2$are the variance of ${b_0}$, ${b_1}$,${d_2}$, respectively; ${\sigma _{{b_0}{b_1}}}$, ${\sigma _{{b_0}{d_2}}}$, ${\sigma _{{b_1}{d_2}}}$ are the covariance of b0 and b1, b0 and d2b1 and d2, respectively; MAE is mean absolute error, RMSE is root mean square error.
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    表  7  4种抽样方式RMSE对比

    Table  7.   Comparison of RMSE of four sampling methods

    样本数
    Sample size
    含随机效应基础模型 Basic model with random effect 含随机效应广义模型 Generalized model with random effect
    随机抽取
    Random sampling
    最小值
    Minimum value
    最大值
    Maximum value
    平均值
    Average value
    随机抽取
    Random sampling
    最小值
    Minimum value
    最大值
    Maximum value
    平均值
    Average value
    1 1.751 2 1.648 7 1.894 7 1.737 9 1.635 1 1.691 9 1.704 4 1.684 3
    2 1.644 4 1.583 0 1.722 5 1.650 1 1.588 8 1.624 7 1.636 6 1.636 4
    3 1.600 6 1.569 5 1.633 5 1.588 3 1.550 6 1.580 8 1.569 2 1.572 5
    4 1.569 0 1.540 6 1.558 9 1.542 5 1.524 3 1.533 7 1.537 5 1.545 0
    5 1.532 2 1.526 4 1.527 6 1.520 1 1.513 2 1.514 9 1.514 3 1.511 9
    6 1.510 4 1.515 4 1.502 3 1.503 7 1.493 3 1.482 3 1.490 7 1.485 2
    7 1.497 5 1.499 5 1.481 0 1.496 9 1.479 3 1.466 0 1.471 8 1.472 7
    8 1.485 5 1.491 0 1.462 0 1.485 3 1.468 1 1.448 2 1.450 7 1.446 5
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-09-20
  • 修回日期:  2019-12-19
  • 网络出版日期:  2020-09-16
  • 刊出日期:  2020-09-30

基于混合效应模型的人工红松枝下高模型研建

doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366
    基金项目:  国家自然科学基金项目(31570624),黑龙江省应用技术研究与开发计划项目(GA19C006),中央高校基本科研业务费专项(2572019CP15)
    作者简介:

    燕云飞。主要研究方向:森林经理。Email:lwyanyunfei@163.com 地址:150040黑龙江省哈尔滨市香坊区和兴路26号东北林业大学林学院

    通讯作者: 姜立春,教授,博士生导师。主要研究方向:森林经理。Email:jlichun@nefu.edu.cn 地址:同上
  • 中图分类号: S758.5

摘要:   目的  基于帽儿山红松人工林63块样地2 972株红松数据,利用非线性混合模型构建红松枝下高模型,为进一步研究生长与收获模型提供理论依据。  方法  本文首先使用8个常用的枝下高模型,选出最优基础模型;其次,研究林分变量或单木变量对枝下高的影响,建立含林分变量的枝下高模型;最终在基础模型和含林分变量模型的基础上,考虑样地效应对红松枝下高的影响,构建红松枝下高基础混合效应模型和广义混合效应模型。模型用4种抽样方式(随机抽取、抽取最大树、抽取最小树、抽取平均树)和8种样本大小(1 ~ 8株树)对基础混合效应模型和广义混合效应模型进行抽样检验。  结果  Logistic模型拟合精度好,符合生物学意义,且模型形式简单,选为最优基础模型。除树高、胸径以外,大于对象木断面积之和、优势木高和冠幅与枝下高有显著相关性,加入后明显提升模型的拟合精度。枝下高广义混合效应模型的拟合效果要优于其他模型。模型检验结果表明:当应用基础混合效应模型预测时,建议抽取胸径最小的4个样本;当应用广义混合效应模型预测时,建议随机抽取4个样本。  结论  枝下高广义混合效应模型在拟合效果和预测精度方面优于其他3种模型,建议将此模型作为人工红松枝下高模型。当应用广义混合效应模型预测时,建议随机抽取4个样本。

English Abstract

燕云飞, 王君杰, 姜立春. 基于混合效应模型的人工红松枝下高模型研建[J]. 北京林业大学学报, 2020, 42(9): 28-36. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366
引用本文: 燕云飞, 王君杰, 姜立春. 基于混合效应模型的人工红松枝下高模型研建[J]. 北京林业大学学报, 2020, 42(9): 28-36. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366
Yan Yunfei, Wang Junjie, Jiang Lichun. Construction of the height to crown base mixed model for Korean pine[J]. Journal of Beijing Forestry University, 2020, 42(9): 28-36. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366
Citation: Yan Yunfei, Wang Junjie, Jiang Lichun. Construction of the height to crown base mixed model for Korean pine[J]. Journal of Beijing Forestry University, 2020, 42(9): 28-36. doi: 10.12171/j.1000-1522.20190366
  • 枝下高是指树冠的第一活枝到地面的高度[1],它是单木树冠特征的一个重要指标,反映树木的生长活力和生产力[2],以及林分内竞争水平等[3-4]。枝下高也通常作为预测变量应用于冠幅模型[5-7]、冠形模型[8]以及生物量模型[9]等,此外枝下高还可以用于计算冠长、冠长率等林分生长与收获模型的重要预测变量。在枝下高实际的测量中,尤其是在郁闭度较大的林分中[10-12],测量精度较差,且浪费大量的人力和物力,因此构建树木枝下高预测模型具有重要的实际意义。

    国内外学者对枝下高模型进行过一些研究。Ritchie等[13]考虑树高、树冠竞争因子、林分断面积的自然对数、胸径和树高的比值等预测变量,利用Logistic模型对美国的14个树种建立了枝下高模型,模型的预测精度有较大的提高。Rijal等[14]利用Logistic模型建立了13个树种的枝下高预估模型,模型包含林木大小变量(树高、胸径和高径比)以及竞争因子变量(冠幅竞争因子和大于对象木断面积和),使得各树种的预测精度有显著的提升。Yang等[15]将林分密度和气象因子作为预测变量加入到白杨(Populus tremuloides)、扭叶松(Pinus contorta)和白云杉(Picea glauca)的枝下高模型中,得到较好的预测效果。段光爽等[16]将竞争因子和林分密度作为预测变量加入到华北落叶松(Larix principis-rupprechtii)枝下高模型中,提高了模型的预测精度。

    近年来,混合效应模型方法在枝下高模型中也得到了一定的应用[10,16-17],主要是因为混合效应模型能提高模型的预测精度。目前利用混合效应模型建模需要解决的关键问题是当使用混合模型进行预测时,需要估计随机参数。估计随机参数需要二次抽样,因此确定合适的样本数是非常必要的,合适的样本数可以极大地减少消耗的人力和物力[18-19]。当使用非线性混合模型建立树高曲线[20-24]、断面积生长[19,25]以及胸径生长[26-27]等模型时,合适的样本数估计随机参数已有较多讨论,但较少涉及混合效应枝下高模型,尤其是混合效应模型实际应用时不同抽样方案的比较,仅见Fu等[10]和Sharma等[17] 的研究报道。

    红松(Pinus koraiensis)主要分布在东北小兴安岭、长白山等林区。红松木材轻软、细致、纹理直、耐腐蚀性强,为建筑、桥梁、枕木、家具等优良用材,是东北地区的主要造林树种之一。根据查阅的国内外文献,关于红松枝下高模型的研究鲜有报道,因此本文以东北红松人工林为研究对象,构建含有林木大小,立地条件以及竞争变量等综合变量的广义枝下高模型,并以样地效应作为分类变量构建非线性混合效应枝下高模型,分析不同模型的预估效果,为红松人工林科学经营的精准预测提供理论依据。

    • 帽儿山实验林场位于黑龙江省南部尚志市帽儿山镇,地理坐标为127°29′ ~ 127°44′E,45°14′ ~ 45°29′N,地处张广才岭西坡,位于阿什河上游,以山区丘陵为主,平均海拔300 m;属中温带湿润性季风气候,年平均气温2. 8 ℃,年平均降水量700 ~ 800 mm,全年日照时数2 150 ~ 2 480 h。林场总面积约264 km2。由侏罗纪中酸性火册岩构成,其中帽儿山是哈尔滨附近最高峰,为东北林业大学下设的实验林场。地带性土壤为暗棕壤,有机质含量和各种化学元素、微量元素含量都较高。植被属于长白山植物区系,是由地带性顶级植被阔叶红松林经人为干扰破坏后形成的较典型的东北东部天然次生林。

    • 2018年在帽儿山实验林场不同林分设置了63块红松人工林样地,样地面积在0.02 ~ 0.06 hm2之间。对样地内树木进行每木检尺,分别测量了树木的胸径、树高、枝下高、冠幅以及每株树的相对位置坐标。通过实测数据计算林分密度(N)、高径比(RHD),大于对象木断面积和(BAL)、冠幅(CW)和优势木高(HD)等变量指标。本研究实测红松样木2 972株,按照4∶1的比例随机抽样,其中51块样地2 417株红松作为建模数据,12块样地555株红松作为检验数据。红松人工林样木及林分特征因子的统计见表1

      表 1  红松人工林建模数据和检验数据基本统计量

      Table 1.  Statistics of fitting data and validation data of Korean pine plantation

      数据类型
      Data type
      变量
      Variable
      均值
      Mean
      最小值
      Minimum
      最大值
      Maximum
      标准差
      Standard
      deviation
      变异系数
      Coefficient of
      variation
      建模数据
      Fitting data
      枝下高 Height to crown base (HCB)/m 5.27 1.10 13.20 2.49 47.24
      树高 Tree height (H)/m 10.86 3.30 19.60 3.16 29.12
      胸径 DBH (D)/cm 14.78 5.00 36.50 5.99 40.53
      高径比 Height-diameter ratio (RHD) 0.78 0.43 2.68 0.17 22.05
      大于对象木的断面积和/(m2·hm−2)
      Basal area sum larger than subject tree (BAL)/(m2·ha−1)
      1.01 0.00 2.56 0.50 49.54
      冠幅 Crown width (CW)/m 1.66 0.33 4.30 0.44 26.46
      优势木高 Dominant height (HD)/m 17.88 14.90 20.62 1.23 6.86
      检验数据
      Validation data
      枝下高 HCB/m 3.62 0.80 12.10 1.89 52.25
      树高 H/m 9.32 3.20 17.90 2.78 29.81
      胸径 DBH (D)/cm 11.72 5.00 28.20 4.57 38.98
      高径比 RHD 0.83 0.50 1.59 0.16 19.13
      大于对象木的断面积和/(m2·hm−2)
      BAL/(m2·ha−1)
      0.87 0.00 1.40 0.31 35.45
      冠幅 CW/m 1.70 0.78 3.83 0.40 23.73
      优势木高 HD/m 17.93 16.86 19.47 0.81 4.54
    • 本文选择了以下8个常用的枝下高模型作为候选基础模型(表2)。利用建模数据中的树高(H)和胸径(D)作为基础变量拟合基础模型,表中X = b0 + b1D。根据均方根误差(RMSE)和决定系数(R2)从以下模型中筛选最优基础模型[10,14,16,28-31]

      表 2  候选基础枝下高模型

      Table 2.  Model of HCB candidate

      模型
      Model
      模型表达式
      Model expression
      参考文献
      Reference
      (1) ${\rm{HCB}} = H/\left( {1 + \exp \left( X \right)} \right)$ [31]
      (2) ${\rm{HCB}} = H/\sqrt {\left( {1 + \exp \left( X \right)} \right)} $ [14]
      (3) ${\rm{HCB}} = H/\sqrt[{\rm{6}}]{{\left( {1 + \exp \left( X \right)} \right)}}$ [14]
      (4) ${\rm{HCB}} = H\left( {1 - \exp \left( X \right)} \right)$ [29]
      (5) ${\rm{HCB}} = H\left( {a + \exp \left( X \right)} \right)$ [30]
      (6) ${\rm{HCB} } = H(1 - {{a} }\exp \left( { {X^2} } \right)$ [31]
      (7) ${\rm{HCB} } = H/\sqrt[{{c} }]{ {\left( {1 + a\exp \left( X \right)} \right)} }$ [14]
      (8) ${\rm{HCB}} = H\left( {1 - a\exp \left( {{X^c}} \right)} \right)$ [14]
      注: ac为模型参数; X 为关于林木大小、竞争因子、立地条件的函数,在表中特指X = b0 + b1Db0b1为模型参数。下同。Notes: a and c refer to model parameters; X is the function about tree size competition index and site condition, here in the table, X = b0 + b1D, b0, b1 are model parameters. The same below.
    • 在最优基础模型基础上考虑林分变量对枝下高的影响,构建广义模型。根据以往的研究结果以及红松林分变量对枝下高影响的分析,主要采用林木大小变量、立地质量以及竞争变量等林分变量,即X函数的表达式为:

      $$X = f\left( {{\rm{SIZE}},{\rm{SITE}},{\rm{COMP}}} \right)$$

      式中:SIZE表示林木大小变量,SITE表示立地质量,COMP表示竞争变量。

      (1)林木大小变量:含有胸径(D)和树高(H)变量的模型是基础形式,高径比是另外一个很重要的因子。高径比和枝下高都受林分密度的影响,高径比的值越大,枝下高越高。SIZE可表示为:

      $${\rm{SIZE}} = {b_1}D + {b_2}H + {b_3}\rm{RHD}$$

      (2)立地质量:优势木高(HD)表示林分立地条件的优劣。SITE可表示为:

      $${\rm{SITE}} = {c_1}\rm{HD}$$

      (3)竞争变量:林分密度(N)是影响林分生长和林分稳定性的重要因子。大于对象木断面积和(BAL)是密度的体现形式之一,表明了林分内一株树木的群落等级和相对的优势程度;冠幅(CW)的竞争影响到林分中树木的自然整枝,间接影响枝下高的大小。因此COMP可以表示为:

      $${\rm{COMP}} = {d_1}{\rm{BAL}} + {d_2}{\rm{CW}} + {d_3}N$$

      通过决定系数(R2)、平均绝对误差(MAE)和均方根误差(RMSE)等对添加林分变量构建的广义枝下高模型进行评价和选择。

    • 将效果最好的基础模型和广义模型加入随机效应,构建混合模型。首先,将不同随机参数组合的模型进行拟合,利用AIC、BIC等指标进行筛选,且为避免过度参数化,对所选模型进行LRT检验。其次,根据以往研究结果,本文选定广义正定结构为方差协方差结构。为了确定样地内的方差协方差结构,必须解决异方差的问题。目前林业上基本都采用下面的公式来描述:

      $$\tag{9}{{ R}_i} = {\sigma ^2}{ G}_i^{0.5}{{ \Gamma} _i}{ G}_i^{0.5}$$

      式中:$ {\sigma }^{2} $为模型的误差方差值;${{ \Gamma }}_{i}$为组内误差相关性结构;${{{ G}}_{i}}^{0.5}$为描述方差异质性的对角矩阵。

      常用的指数函数和幂函数以及常数加幂函数的方法来描述混合模型产生的异方差现象,并求得AIC和BIC来求得最合适的模型。3个模型的形式[32]如下:

      指数函数:

      $$ g\left( {{u_{i\!j}},\alpha } \right) = \exp \left( {{u_{i\!j}}\alpha } \right) $$

      幂函数:

      $$ g\left( {{u_{i\!j}},\beta } \right) = {\left| {{u_{i\!j}}} \right|^\beta } $$ (11)

      常数加幂函数:

      $$ g\left( {{u_{i\!j}},\delta } \right) = {\left| {{u_{i\!j}}} \right|^{{\delta _{\rm{1}}}}}{\rm{ + }}{\delta _{}} $$ (12)

      式中:${u_{i\!j}}$代表第i个样地第j棵树木的胸径、枝下高观测值和枝下高拟合值;αβδ、δ1均为待估参数。

    • 混合效应模型的检验不同于传统模型的检验,包含固定效应参数以及随机效应参数。固定参数的检验与传统最小二乘模型的检验方法相同,而随机效应参数的检验需要计算随机参数值,在每个样地抽取1 ~ 8株样本,通过提取样本的数据,利用公式计算随机参数估计值:

      $${\hat b_k} \approx \hat { D}\hat { Z}_k^{\rm T}{\left( {{ \hat { Z}_k}\hat{ D}\hat { Z}_k^{\rm T} + {\hat { R}_k}} \right)^{ - 1}}{\hat e_k}$$ (13)

      式中:${\hat b_k}$为随机参数估计值,$\hat{ D}$为随机效应参数的方差协方差矩阵,${\hat { Z}_k}$为设计矩阵,${\hat { R}_k}$为样地内方差协方差矩阵,${\hat e_k}$为实际值减去固定效应参数计算的预测值。

      不同的抽样方案会有不同的校正参数值,为了探索模型预测精度和抽样方案的关系,本研究采用常用的4种抽样方案分别对基础混合效应模型和广义混合效应模型校正并进行选择,其中随机抽取的方案模拟计算100次,4种抽样方案分别为:

      (1)每个样地随机抽取1 ~ 8株树,测量各样木胸径、树高、冠幅以及枝下高等样本数据。

      (2)每个样地抽取胸径最大的1 ~ 8株树,测量各样木胸径、树高、冠幅以及枝下高等样本数据。

      (3)每个样地抽取胸径最小的1 ~ 8株树,测量各样木胸径、树高、冠幅以及枝下高等样本数据。

      (4)根据样地的平均胸径,抽取1 ~ 8株与平均胸径相近的树,测量各样木胸径、树高、冠幅以及枝下高等样本数据。

    • 本研究所使用的评价指标为决定系数(R2)、平均绝对误差(MAE)以及均方根误差(RMSE)来进行模型的筛选以及模型的预测能力的评估。

      $${R^{\rm{2}}}{\rm{ = 1 - }}\sum {{{\left( {{\rm{HCB}} - \hat {\rm{HCB}}} \right)}^2}\Big/\sum {{{\left( {{\rm{HCB}} - \bar {\rm{HCB}}} \right)}^2}} } $$ (14)
      $${\rm{MAE}} = \sum {\left| {{\rm{HCB}} - \bar {\rm{HCB}}} \right|} /n$$ (15)
      $${\rm{RMSE}} = \sqrt {\sum {\left( {{\rm{HCB}} - \bar {\rm{HCB}}} \right)} /\left( {n - p} \right)} $$ (16)

      式中:n为观测的样本数;HCB为枝下高的观测值;$\hat {\rm{HCB}}$为枝下高预测值;$\bar {\rm{HCB}}$为枝下高的平均值;p为模型参数数量。

      在评价和比较混合模型方面,除考虑以上评价指标,还参考赤池信息量(AIC)和贝叶斯信息量(BIC)等评价指标。为避免混合模型中参数过多导致模型过参数化问题,还对参数不同的模型采取似然比检验(LRT),若 P < 0.000 1,则认为模型差异显著,选择出收敛且精度高的模型[16,24]

      $${\rm{AIC}} = - 2{\rm LOGLIK} + 2\lambda $$ (17)
      $${\rm{BIC}} = - 2{\rm LOGLIK} + \lambda \log \left( n \right)$$ (18)
      $${\rm{LRT}} = {\rm{2}}\left( {{\rm LOGLIK}1 - {\rm LOGLIK}2} \right)$$ (19)

      式中:LOGLIK为拟合模型的对数似然值,$\lambda $为模型中固定效应参数的个数,n为观测样本数,LOGLIK1、LOGLIK2分别为需要比较的两个不同随机参数模型的对数似然值。

    • 基于建模数据利用R软件的NLS拟合候选基础模型,得到决定系数(R2)、均方根误差(RMSE)以及模型的参数(表3)。在拟合过程中发现模型(5)、模型(6)、模型(7)和模型(8)不收敛。其他4个模型的参数估计值都显著(P < 0.05)且都能解释大于57%的枝下高的变化,其中模型(1)为Logistic模型,显示了较小的均方根误差RMSE以及最大决定系数R2,且模型(1)可以将枝下高限制在(0,H]之间,因此选择模型(1)作为拟合枝下高模型的最优基础模型。

      表 3  候选模型评价指标和拟合参数

      Table 3.  Evaluation indices and fitting parameters of candidate model

      模型
      Model
      参数
      Parameter
      参数估计值
      Parameter estimate
      拟合优度
      Goodness-of-fit statistics
      R2RMSE
      (1) ${b_0}$ 0.396 4 0.579 5 1.614 8
      ${b_1}$ −0.020 0
      (2) ${b_0}$ 1.633 6 0.577 9 1.617 7
      ${b_1}$ −0.026 9
      (3) ${b_0}$ 5.085 8 0.577 7 1.618 3
      ${b_1}$ −0.050 0
      (4) $a$ 0.561 9 0.578 5 1.616 7
      ${b_0}$ 0.039 0
      ${b_1}$ −0.008 4
      (5) $a$ 不收敛
      No convergence
      ${b_0}$
      ${b_1}$
      (6) $a$ 不收敛
      No convergence
      ${b_0}$
      ${b_1}$
      (7) $a$ 不收敛
      No convergence
      ${b_0}$
      ${b_1}$
      $c$
      (8) $a$ 不收敛
      No convergence
      ${b_0}$
      ${b_1}$
      $c$
    • 使用随机效应模型的方法将不同预测变量的组合引入到基础模型中,依据避免多重共线性和过度参数化的原则,将拟合效果较好的林分变量组合列入表4。当选择大于对象木断面积和(BAL)、优势木高(HD)和冠幅(CW)等3个林分变量组合时,相较于其他的林分变量组合,R2值提升了0.1 ~ 0.13,MAE下降了0.17 ~ 0.23,RMSE下降了0.21 ~ 0.27,因此选择该变量组合。广义枝下高模型的形式为:

      表 4  不同预测变量组合模型拟合结果

      Table 4.  Model fitting results based on different prediction variables

      变量组合 Variable combinationR2MAERMSE
      0.567 0 1.284 0 1.638 6
      大于对象木的断面积和−优势木高 BAL-HD 0.683 9 1.087 8 1.400 1
      大于对象木的断面积和−林分密度 BAL-N 0.671 1 1.113 2 1.428 1
      大于对象木的断面积和−冠幅 BAL-CW 0.687 4 1.080 3 1.392 3
      大于对象木的断面积和−优势木高−冠幅 BAL-HD-CW 0.700 0 1.050 2 1.363 8
      大于对象木的断面积和−高径比−优势木高 BAL-RHD-HD 0.690 0 1.070 5 1.386 5
      大于对象木的断面积和−优势木高−林分密度 BAL-HD-N 0.690 0 1.088 7 1.386 5
      注:—表示除胸径外,无林分变量添加。Notes: — indicates the models without other stand variables except D.
      $${\rm{HCB}} = \frac{H}{{1 + \exp \left( {{b_0} + {b_1}D + {c_1}{\rm HD} + {d_1}{\rm BAL} + {d_2}{\rm CW}} \right)}} + \varepsilon $$ (20)

      式中:b0b1c1d1d2为模型参数。

    • 在基础模型和广义模型基础上考虑样地效应对枝下高的影响。首先,分析基础模型,2个参数均添加随机效应模型收敛且拟合效果最好,得到以下模型:

      $${\rm{HC}}{{\rm{B}}_{i\!j}} = \frac{{{H_{i\!j}}}}{{1 + \exp \left( {\left( {{b_0} + {u_0}} \right) + \left( {{b_1} + {u_1}} \right){D_{i\!j}}} \right)}} + {\varepsilon _{i\!j}}$$ (21)

      式中:HCBijHijDij分别为第i块样地第j株树的枝下高、树高、胸径;u0u1为随机效应参数。

      对于广义枝下高模型,随机效应共有31种不同的组合方式,当分别引入4个和5个随机参数时,模型不收敛,因此表5中仅列出了随机参数相同时效果最优的组合。当随机参数组合为b0b1d2时,AIC、BIC值最小,且LOGLIK 达到最大值,且通过似然比检验,各随机参数组合之间有明显的不同(P < 0.000 1),因此选择b0b1d2随机参数组合,得到模型:

      表 5  广义非线性混合模型评价指标

      Table 5.  Evaluation indices of generalized nonlinear mixed model

      随机效应参数
      Random effect parameter
      AICBICLOGLIKLRTP
      P value
      8 167.35 8 207.88 −4 076.67
      ${b_0}$ 7 987.10 8 027.63 −3 985.55 182.24 < 0.000 1
      ${b_0},{d_2}$ 7 969.87 8 021.98 −3 975.93 19.24 < 0.000 1
      ${b_0},{b_1},{d_2}$ 7 815.16 7 890.44 −3 894.58 162.7 < 0.000 1
      注:—表示无随机参数。Note:— indicates the models without random parameters.
      $${\rm{HC}}{{\rm{B}}_{i\!j}} = \frac{{{H_{i\!j}}}}{{1 + \exp \left( {\left( {{b_0} + {u_0}} \right) + \left( {{b_1} + {u_1}} \right){D_{i\!j}}{\rm{ + }}{c_1}{{\rm HD}_{i\!j}} + {d_1}{{\rm BAL}_{i\!j}} + \left( {{d_2} + {u_4}} \right){{\rm CW}_{i\!j}}} \right)}} + {\varepsilon _{i\!j}}$$ (22)

      式中:u4为随机效应参数。

      本研究也比较了混合模型中常用的3种方差协方差结构,根据AIC和BIC可得到广义正定矩阵结构为最佳方差协方差结构。由于异方差的存在,本文对于3种方差函数分别进行了研究,指数函数和常数项加幂函数在异方差的校正过程不收敛,幂函数能够消除混合效应模型的异方差,校正广义混合效应模型的幂函数形式为

      $${G_i} = {\left| {{u_{i\!j}}} \right|^{0.499\;5}}$$ (23)

      式中:uij代表第i个样地第j棵树木的枝下高拟合值。

    • 4个模型的固定参数、方差估计以及拟合统计量如表6所示,在不含随机效应模型方面,广义模型在拟合精度上高于基础模型,R2提升21.0%,MAE和RMSE分别降低18.1%和15.6%;在含随机效应模型方面,广义混合效应模型在拟合精度上略高于基础混合效应模型,R2提升1.1%,MAE和RMSE分别降低2.2%和1.8%。含随机效应模型的拟合精度与相应不含随机效应模型相比均有很大提高,含随机效应的基础混合效应模型较于不含随机效应的基础模型,R2提升32.62%,RMSE和MAE分别下降25.65%和27.87%,含随机效应的广义混合效应模型较于不含随机效应的广义模型,R2增长了10.82%,RMSE和MAE分别减少了13.51%和13.91%。综合评价指标,含随机效应的广义混合效应模型拟合效果优于其他3种模型。基础模型和广义模型以及含随机效应的基础混合效应模型和广义混合效应模型的残差图分别对应图1中的A、B、C、D,异方差校正后都没有显示极不规则的形状。

      图  1  基本模型(A)、广义模型(B)、基础混合效应模型(C)和广义混合效应模型(D)的残差分布图

      Figure 1.  Residual plots of basic model (A), generalized model (B), basic mixed effect model (C), and generalized mixed effect model (D)

      表 6  模型参数估计和模型拟合统计量

      Table 6.  Parameter estimates and fitting statistics for each model

      项目
      Item
      参数
      Parameter
      不含随机效应模型 Model without random effect 含随机效应模型 Model with random effect
      基础模型
      Base model
      广义模型
      Generalized model
      基础混合效应模型
      Base mixed effect model
      广义混合效应模型
      Generalized mixed effect model
      固定参数
      Fixed parameter
      ${b_0}$ 0.396 4 −1.201 6 0.020 2 −1.739 8
      ${b_1}$ 0.020 0 −0.043 9 0.010 5 −0.024 7
      ${c_1}$ 0.093 9 0.112 8
      ${d_1}$ −0.363 3 −0.276 2
      ${d_2}$ 0.383 7 0.285 9
      方差组成
      Composition of variance
      $\sigma _{{b_0}}^2$ 0.416 6 0.135 4
      $\sigma _{{b_1}}^2$ 0.000 2 0.000 3
      $\sigma _{{d_2}}^2$ 0.054 6
      ${\sigma _{{b_0}{b_1}}}$ −0.008 9 −0.000 7
      ${\sigma _{{b_0}{d_2}}}$ −0.031 9
      ${\sigma _{{b_1}{d_2}}}$ −0.003 0
      拟合统计量
      Fitting statistics
      R2 0.578 1 0.699 5 0.766 7 0.775 2
      MAE 1.284 0 1.051 8 0.926 2 0.905 5
      RMSE 1.617 5 1.364 9 1.202 6 1.180 5
      注:$\sigma _{{b_0}}^2$、$\sigma _{{b_1}}^2$、$\sigma _{{d_2}}^2$分别为${b_0}$、${b_1}$、${d_2}$的方差;${\sigma _{{b_0}{b_1}}}$、${\sigma _{{b_0}{d_2}}}$、${\sigma _{{b_1}{d_2}}}$分别为b0b1b0d2b1d2的协方差;MAE为平均绝对误差,RMSE为均方根误差。Notes: $\sigma _{{b_0}}^2$,$\sigma _{{b_1}}^2$, $\sigma _{{d_2}}^2$are the variance of ${b_0}$, ${b_1}$,${d_2}$, respectively; ${\sigma _{{b_0}{b_1}}}$, ${\sigma _{{b_0}{d_2}}}$, ${\sigma _{{b_1}{d_2}}}$ are the covariance of b0 and b1, b0 and d2b1 and d2, respectively; MAE is mean absolute error, RMSE is root mean square error.
    • 本研究对随机效应的基础混合效应模型和广义混合效应模型分别校正,利用检验数据进行4种抽样,即随机抽取样本、抽取样本最大值、抽取样本最小值和抽取样本均值。每个样地抽取1 ~ 8个样本,即实测抽取样木的枝下高,基于公式(13)和表6的参数估计值计算随机参数估计值,具体采用R语言的矩阵编程来实现。为了避免得到随机参数估计值的偶然性,重复100次抽样校正过程。通过分析不同抽样设计下样本量与预测精度(RMSE)的关系(图2表7)可以发现:含随机效应的基础混合效应模型和广义混合效应模型的4种抽样方式均呈现RMSE总体下降的趋势,且下降趋势相似。当抽取1 ~ 4株样木时,下降速度较快,然后下降缓慢,因此当应用含随机效应的基础混合效应模型和广义混合效应模型进行预测时,根据抽样成本和精度的要求,建议抽取4个样本。当比较抽取4个样本的4种抽样方案时,对于基础混合效应模型,抽取最小值的样本精度最高,而对于广义混合效应模型,随机抽取样本的精度最高。

      图  2  不同抽样设计下基础混合效应模型(A)和广义混合效应模型(B)的预测精度

      Figure 2.  Prediction accuracy of basic mixed effect model (A) and generalized mixed effect model (B) based on different sampling designs

      表 7  4种抽样方式RMSE对比

      Table 7.  Comparison of RMSE of four sampling methods

      样本数
      Sample size
      含随机效应基础模型 Basic model with random effect 含随机效应广义模型 Generalized model with random effect
      随机抽取
      Random sampling
      最小值
      Minimum value
      最大值
      Maximum value
      平均值
      Average value
      随机抽取
      Random sampling
      最小值
      Minimum value
      最大值
      Maximum value
      平均值
      Average value
      1 1.751 2 1.648 7 1.894 7 1.737 9 1.635 1 1.691 9 1.704 4 1.684 3
      2 1.644 4 1.583 0 1.722 5 1.650 1 1.588 8 1.624 7 1.636 6 1.636 4
      3 1.600 6 1.569 5 1.633 5 1.588 3 1.550 6 1.580 8 1.569 2 1.572 5
      4 1.569 0 1.540 6 1.558 9 1.542 5 1.524 3 1.533 7 1.537 5 1.545 0
      5 1.532 2 1.526 4 1.527 6 1.520 1 1.513 2 1.514 9 1.514 3 1.511 9
      6 1.510 4 1.515 4 1.502 3 1.503 7 1.493 3 1.482 3 1.490 7 1.485 2
      7 1.497 5 1.499 5 1.481 0 1.496 9 1.479 3 1.466 0 1.471 8 1.472 7
      8 1.485 5 1.491 0 1.462 0 1.485 3 1.468 1 1.448 2 1.450 7 1.446 5
    • 将优势木高作为立地质量的代表引入到模型中,表现了对枝下高显著的相关性。优势木高反映了林分生长和收获能力,优势木高与树木生长和林分发育之间存在着很强的关系。从表6中可以看出优势木高的参数估计值是负号,这可能因为红松林竞争压力大,树木由于自然整枝的原因导致下层枝条自然死亡,随着优势木高的增加,枝下高增加。

      在竞争变量中,选择了大于对象木断面积和(BAL)和冠幅(CW),这2个变量与枝下高存在显著的相关性,其他的研究也可以证明,如Fu等[10]在研究蒙古栎(Quercus mongolica)枝下高模型时得到相同结论。大于对象木的断面积和(BAL)表述样地内树木的竞争指标,在冠长率模型中经常出现,与相邻木相比,BAL越小,树木的直径越大,对象木的竞争能力越强,就越能获得光照、水和土壤养分。冠幅变量可表示样地内的密度竞争指标,在表6中可以看出大于对象木的断面积和的参数估计是负值,表示随着大于对象木断面积之和的增加,树木的竞争压力越大,枝下高变大;冠幅的参数估计是正值,表示随着冠幅的增加,对象木的竞争降低,枝下高变小。

      混合效应模型是分析分组或分层数据的一种方法,在本研究中混合模型方法能够解释样地之间枝下高的变化,并能提高模型的预测精度。在模型应用计算随机参数过程中,随着二次抽样样本数量的增加,预测精度也提高,所耗费抽样成本也增加,因此在应用混合效应模型时,确定合适的抽样数量计算随机参数是非常必要的。

      目前关于枝下高模型的研究较少,尤其是混合效应枝下高模型应用时随机参数的不同抽样方案比较仅见2篇。Sharma等[17]在研究挪威云杉(Picea abie)和欧洲山毛榉(Fagus sylvatica)枝下高模型时,随机抽取1 ~ 10株树进行预估随机参数,考虑预测精度与成本,建议随机抽取4株树进行抽样校正;Fu等[10]在研究蒙古栎枝下高模型抽样数量与预测精度问题时,也建议随机抽取4株树进行校正,这与本研究的结果基本一致。而4种抽样方案对比来说略有不同,对于基础混合效应模型,抽取最小值的样本最好,对于广义基础混合效应模型,随机抽取样本最好。

    • 本文从8个候选基础模型中得到最优基础模型Logistic模型,加入立地质量因子(HD)和竞争因子(BAL和CW)后,显著提高了基础模型的拟合精度。随后将基础模型和广义模型分别引入随机效应,模型的拟合精度进一步提高,可以表明林分变量以及样地效应对枝下高模型的影响是显著的。含随机效应的广义混合效应模型在拟合效果与预测精度方面优于其他3种模型,建议此模型作为人工红松枝下高预测模型。

参考文献 (32)

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