小陇山林区位于甘肃省东南部（33°30′ ~ 34°49′N，104°22′ ~ 105°43′E），地处秦岭山脉西端，属于暖温带向亚热带过渡地带，兼有我国南北气候特点。大多数地域属暖温带湿润−中温半湿润大陆性季风气候，年平均气温7 ~ 12 ℃，年降雨量在460 ~ 800 mm，主要集中在7—9月份，年蒸发量989 ~ 1 658 mm，无霜期120 ~ 218 d，年日照时数1 520 ~ 2 313 h。该地区秦岭以北地带性土壤为灰褐土，以南为黄褐土，垂直分布比较明显。小陇山林区地处我国华中、华北、喜马拉雅、蒙新四大自然植被区系交汇处，植物组成丰富，其中锐齿栎群落广泛分布于小陇山林区，是该林区的主要森林群落类型之一。

2008年在甘肃小陇山林区百花林场设置70 m × 70 m的锐齿栎天然混交林固定样地，该样地平均海拔1 720 m，西北坡向，平均坡度12°，林分郁闭度0.8，树种组成为5锐齿栎2山榆1华山松1辽东栎 + 太白槭 + 山核桃（表1）。采用拓普康全站仪（GPT-3000LNC）测定林木坐标位置，围尺测定DBH ≥ 5 cm的林木胸径，激光测距测高仪测定树高和枝下高，皮尺测定东西、南北两个方向树冠作为平均冠幅。为避免边缘效应的影响，样地四周设置5 m缓冲区，缓冲区内林木仅作为相邻木，而核心区内林木即可作为参照树，也可作为相邻木（图1）。

图  1  林木分布

Figure 1.  Tree distribution

基于相邻木空间关系的林分空间结构指标能够精准地描述林分空间结构特征。角尺度（Uniform angle index，W）用来判断林木分布格局^[19]；大小比数（Neighborhood comparison，U）可以描述林木优劣程度^[20]；混交度（Mingling degree，M）表达林木空间隔离程度^[21]；密集度（Crowding degree，C）反映林木密集程度^[8]。对于任一参照树i（$ i = 1,\;2, \cdots ,N$）和它的4株最近相邻木j（j = 1，2，3，4），其空间结构状态（ω_i）计算通式^[5]为：

式中：v_j为离散型变量，取值为0或1；ω_i的5种可能取值分别为0.00、0.25、0.50、0.75、1.00。结构参数W、M、U和C的具体取值和生物学意义见图2，详细解释见参考文献[5]。

图  2  结构参数具体取值和生物学意义

Figure 2.  Specific meanings of the W, M, U and C

本文采用林分空间结构分析软件（Winkelmass）计算每株林木空间结构参数W、M、U和C，利用Excel数据透视表统计核心区林木一元分布、二元分布、三元分布、四元分布相对频率，并采用R 3.4.3、Origin 2015绘图。

以4个结构参数（W、U、M和C）的均值分别描述林分某方面结构特征的平均状况，即结构参数零元分布（均值）。锐齿栎天然混交林$\overline W$为0.510，落在[0.475，0.517]之间，说明林分整体呈随机分布；$\overline M$为0.796，表明林分整体混交良好；$\overline U$为0.505，说明林木处于中庸状态；$\overline C$为0.772，表明林分内林木比较密集。

以每个结构参数的5个取值等级（0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）对应林木相对频率详细地描述林分某方面的结构特征，即为结构参数一元分布。在锐齿栎天然混交林中（图3），林分中59.18%的林木属于随机分布，均匀分布和不均匀分布的林木分别为21.77%、12.24%，其余分布类型林木较少；各大小比数等级林木比例比较接近，即林分中不同优势程度均有20%的林木；林分中80.27%的林木混交良好（M_i = 1.00、0.75），其余林木空间隔离程度较低；林分中很密集、比较密集林木比例分别为47.85%、26.53%，表明大多数林木比较密集地与相邻木伴生。

图  3  一元分布

Figure 3.  Univariate distribution

将任一结构参数X的5种可能取值（X_i = 0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）与另一结构参数Y的5种可能取值（Y_i = 0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）进行交叉分类，得到25种不同结构组合的相对频率分布，即结构参数X-Y的二元分布。在锐齿栎天然混交林中（图4），同一混交等级林木大多处于随机分布；而同一分布格局林木多混交良好，其中随机分布且混交良好林木最常见（48.30%）（图4a）。56.00%以上同一大小比数等级林木处于随机分布；而同一分布格局林木均以近20.00%的比例处于5种不同优劣等级（图4b）。C-W与M-W二元分布类似，其中林分内随机分布且很密集、比较密集的林木分别有27.44%、16.78%（图4c）。72.00%以上同一大小比数等级林木混交良好；除M_i = 0.00、0.25外，同一混交状况林木在不同优劣等级差异相对较大（图4d）。81.61%的优势木和54.84%亚优势木的林冠均很密集，其次是U_i = 1.00、0.75、0.50且C_i = 1.00、0.75这6种组合下的林木所占比例较大，占到总株数的6.35% ~ 8.16%之间（图4e）。林分中林木相对频率从C_i = 0.00且M_i = 0.00到C_i = 1.00且M_i = 1.00呈递增趋势，其中林分中59.86%的林木混交良好且较为密集，尤其是18.14%的林木很密集地与4株不同树种相伴生（图4f）。

图  4  二元分布

Figure 4.  Bivariate distribution

将任意两个结构参数X的5种可能取值（X_i = 0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）、Y的5种可能取值（Y_i = 0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）与另一结构参数Z的5种可能取值（Z_i = 0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）进行交叉分类，得到125种不同结构组合的相对频率分布，即为结构参数的三元分布。同一混交等级和优劣等级林木大多处于随机分布，其中6.35%的林木为优势木且伴生有4种随机分布的不同树种；同一分布格局（W_i = 0.00除外）和优劣等级的林木大多伴生有3 ~ 4个其他树种（图5a）。同一密集度和优劣等级的林木大多处于随机分布，其中9.52%的林木为很密集随机分布的优势木（图5b）。同一密集度和大小比数的林木混交良好，8.39%的林木为极强度混交且很密集的优势木（图5c）。同一混交等级和分布格局林木绝大多数很密集或比较密集，其中混交良好、随机分布且比较密集林木占到总株数的35.83%；同一混交等级和密集度林木大多处于随机分布；同一分布格局和密集度林木大多混交良好，其中22.68%的林木为随机分布、混交良好且很密集分布的林木（图5d）。

图  5  三元分布

Figure 5.  Trivariate distribution

将任意两个结构参数X的5种可能取值（X_i = 0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）、Y的5种可能取值（Y_i = 0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）与其余两个结构参数Z的5种可能取值（Z_i = 0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）、T的5种可能取值（T_i = 0.00、0.25、0.50、0.75、1.00）进行交叉分类，得到625种不同结构组合的相对频率分布，即为结构参数的四元分布。在锐齿栎天然混交林中（图6），相同大小比数等级和密集度等级下，同一分布格局林木大多混交良好或同一混交等级林木大多处于随机分布；不同密集度和大小比数等级下林分中随机分布且混交良好林木比例较大，达到48.30%；林分中最常见林木结构单元为周围很密集地随机分布有其他4种树种的优势木（C_i = 1.00、W_i = 0.50、M_i = 1.00和U_i = 0.00），占总株数的5.44%，其次是随机分布且强度混交下比较密集的绝对劣势林木，占总株数的2.72%，再者是随机分布且强度混交下很密集分布的优势和亚优势林木或比较密集分布的中庸林木，均为2.49%。

图  6  四元分布

Figure 6.  Quadrivariate distribution

结构参数W、U、M和C各自独立地描述林分不同方面的结构属性，并且都有5个相同的取值等级，这两个特征为它们之间形成数学上的联合分布提供了必要条件^[9,12]。结构参数N元分布从不同层次和角度详尽地解译了林木结构特征信息，实现了林分结构“点→线→面→体→超体”精准解译，从而提高了结构解译的灵活性（表2）。在实践中需要针对不同的现实的林分和需求，以“分而析之”寻求特征根，以“合而求之”进行泛函，恰当准确地选择“标尺”是高效解译林分结构信息的关键，侧面反映出不同分布之间的优势互补、相辅相成。

结构参数N元分布从不同层次和角度全面且系统地诠释了锐齿栎天然混交林结构多样性。锐齿栎天然混交林作为小陇山林区典型林分之一，不少学者针对其群落、优势树种、不同径级等空间结构特征及其动态变化^[22-24]开展了卓有成效的研究，但这些研究仅采用W、U和M的均值、一元分布、二元分布量化描述结构特征^[15,21-23]，也未涉及密集度所反映的林木水平挤压和垂直遮挡。林分密集度（C）解决了如何定量描述林木所处微环境密集程度的问题^[8]，三元分布^[17]和四元分布丰富了变量分布的形式和数量，提供了更多的林分结构信息。例如，锐齿栎天然混交林中同一混交度和大小比数等级(图5a)、同一混交度和密集度等级(图5d)或同一密集度和大小比数等级(图5b)林木大多处于随机分布；同一分布格局和大小比数等级（图5a）、同一密集度和大小比数等级（图5c）或同一分布格局和密集度等级（图5d）林木大多混交良好。四元分布表明相同大小比数和密集度等级下同一分布格局林木大多混交良好或同一混交等级林木大多处于随机分布（图6）。结合结构参数二元分布特征（图4），我们发现该林分最突出的特点是不管结构参数如何组合，林分均表现出不同组合下林木随机分布或混交良好。

结构参数N元分布解译的锐齿栎天然混交林结构特征为森林经营决策和林分结构重建提供了大量有效且可操作性强的异质性信息。结构化森林经营强调创建和维护最佳的森林空间结构^[5]，因此，林分中结构组合（C_i = 0.00、W_i = 0.50、M_i = 1.00和U_i = 0.00）将成为最佳林分结构组合，即林木为随机分布优势木且周围全为稀疏分布的其他树种。因此，同种聚集且拥挤分布的劣势木将作为首选采伐木；单方面结构合理林木将作为次选采伐木，如0.45%极强度混交但很拥挤聚集分布的绝对劣势林木；两方面结构合理的林木将作为再选采伐木，如1.81%随机分布混交良好但很拥挤分布的绝对劣势木；三方面结构合理的林木将作为备选采伐木，如0.45%稀疏且良好混交的优势木但水平格局呈聚集分布的林木（图6）。这样少量多次的精准筛选采伐木便于控制采伐强度。林分结构重建的关键首先是如何使林木在水平地域上合理排列，其次是林木属性的有条件交换^[7]。该属性涵盖分布格局、林木优劣程度、树种组成和密集程度等方面，以往采用均值或一元分布信息仅能恢复林分整体或单方面特征，如角尺度及其分布仅展示林木水平分布格局，而与林木其他属性无关^[12-13]，而N元分布则提供了更加全面完整的结构信息，有效地提升了林分结构重建效率和精确性，也为模拟地带性顶级群落进行人工造林、对比不同林分结构组合下的结构效应提供了有效途径。

结构参数角尺度、混交度、大小比数和密集度相互独立且具有相同的取值等级^[12,17]，形成了全面描述林分结构特征N元分布的理论基础和必要条件。其中，零元分布以均值说明林分整体在某一方面的平均状态特征；一元分布以5个取值等级上的频率分布描述林分某方面结构特征，是将林分整体结构状态细分为5个等级详细阐述林分单方面状态特征^[9]；二元分布将任意2个结构参数交叉分类，进一步形成5 × 5 = 25种结构组合并借助其分布频率值描述林木微环境结构信息，包含了两个一元分布所涵盖的信息^[12-14]；三元分布将任意3个结构参数交叉分类，将林分整体进一步细分为5 × 5 × 5 = 125种结构组合来详细表述林木微环境，完全包含并超越了任何3个二元分布以及3个一元分布所提供的全部信息^[17]，四元分布包含了5 × 5 × 5 × 5 = 625种结构组合，涵盖了所有较低维分布所包含的结构信息，并分别以5倍、25倍、125倍、625倍的精细程度细化了三元分布、二元分布、一元分布和零元分布，其联合效应甚似“倍增效应”。以往研究仅借助文字简单粗略地阐述一元、二元和三元分布之间的关系^{[8,12,15-17,19-21]}，也可从几何图形和概率论的角度基于垂直投影降维和边际分布函数详细论述不同分布之间的内在联系，并明确其数量特征和内在关系。此外，以往研究以单水平、单层次^{[10-11,25-26]}或两水平^{[12-15,17,27-28]}探讨林分结构特征，往往难以形成对林分结构特征完整、全面的认知和理解。本研究则采用N元分布全方位、多层次、多形式、广角度解译和揭示了林分结构特征。

图形可视化不仅能简明地展现森林数据的空间形态和多维特性，而且能形象直观地表达复杂抽象的空间信息^[29]。结构参数零元、一元、二元、三元和四元分布均是对变量的“点”“线”“面”“体”和“超体”的数学描述^[7]，其图形化表达方式直观多样。零元分布以单一数值表示，一元分布大多以文字或表格表示^[6,10-11]，二元分布同时从两个方面描述林分结构特征，其分布频率以3D柱状图^[12-13,15]、3D曲面图^[30]或Corrplot^[14]表示，三元仅以堆叠柱状图表示^[17] ，类似于五阶魔方变型。随着零元分布→四元分布逐步深入挖掘林木微环境结构多样性，为数据分析和直观展现带来了潜在的“维数灾难”，因此本研究认为所有N元分布均可以交叉列联表表示，三元分布或四元分布可采用双X横坐标或双Y纵坐标的三维柱状图直观展现多元分布结构信息（图5、图6），充分应用“一图胜千言”的可视化表达方式直观有效地呈现结构信息本身。

基于最近相邻木关系的结构参数应用广泛。首先，采用结构参数不同分布从不同层次和角度分析和比较不同群落、种群、径级林木结构特征^{[12-17,23-24,30-35]}。其次，结构参数可判定林木分布格局类型。以往采用角尺度均值判定林木分布格局^[18-19]，而最近通过正态分布检验林分平均角尺度^[36-37]或基于树种混交度期望值与观测值关系^[38]测度种群分布格局。再者，结构参数可表征林分结构和分布格局多样性。既可采用最近邻统计方法分析结构多样性^[14,30]，也可利用Simpson指数和Shannon指数测度直径大小和分布格局多样性^[39-41]。此外，结构参数可以测度林木之间的竞争态势。例如，基于相对显著度和树种大小比数的空间优势度^[42]、兼顾交角和大小比数的林木竞争指数^[43]、基于邻体微环境的结构竞争指数^[44]、基于拥挤度和大小比数的目标树竞争指数^[45]。采伐木的选择精准化和判别简易化也是结构参数的重要应用。结构化森林经营应用角尺度、混交度、大小比数和密集度分别调整林木的分布格局、空间隔离程度、竞争关系和拥挤状况^[5,7]，在生产实践中总结出了易于理解、方便操作的“五字一句话”口诀——“观、测、筛、选、定，五观五优一审轻”^[46]，采伐木结构特征完全符合林分先决条件和经营目标^[47]。最后，应用结构参数重建林分结构是林分可视化的有效途径。林分结构重建的关键是如何使林木在水平地域上合理排列，其次是林木属性的有条件交换^[7]。本文采用N元分布阐释了小陇山锐齿栎天然混交林结构信息，基于这些最近邻体统计信息采用非参数法可成功重建复杂的林分空间结构^[48]。此外，林分内大多数林木呈随机分布，其随机体断面积占总断面积的50%以上^[49]，林分内大树周围多为其他树种伴生^[50-51]，这些研究为更加逼真地恢复和重建森林结构创造了条件。