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胶合板作为三大传统人造板之一，广泛应用于家具和建筑等领域。由于胶合板是由多层单板黏接而成的，力学性能分散性大，所以为了实现胶合板的高效生产和合理使用，对其力学性能的检测和分等便必不可少。足尺胶合板指国内外人造板生产和销售中的大幅面成品胶合板，最典型的幅面尺寸是2.44 m × 1.22 m。两个主要方向的弹性模量（即长度方向弹性模量Ex和宽度方向弹性模量Ey）作为衡量足尺胶合板力学性能的主要指标，如何快速准确地对其进行检测一直是国内外研究人员的主要研究目标。传统的静态检测方法存在有损、费时，只适用于抽检且一次试验仅能获得板材单个方向弹性模量值等弊端，不能满足足尺胶合板两个主要方向弹性模量在线同步无损检测的要求。因此，有必要开展足尺胶合板两个主要方向弹性模量的无损检测研究。
近年来，国内外学者已经运用振动法对不同边界条件的足尺胶合板两个主要方向弹性模量的无损检测开展了一些研究[1-2]。1992年，Sobue等[3]基于横向振动理论研究了如何无损检测一侧长边简支而其他三边自由的足尺胶合板的两个弹性模量（Ex和Ey）。2003年，Bos等[4]通过对完全自由人造板的模态测试分析，选择人造板模态（2,0）和（0,2）的频率计算其长度和宽度方向的弹性模量，并设计开发出了一款足尺人造板弹性模量在线无损检测装置，随后通过将该检测装置测得的足尺胶合板Ex和Ey的动态结果与标准静态试验检测结果进行对比分析，发现两者间具有很好的相关性。2017年，管成等[5]提出了一种四节点支承的边界条件，此边界条件是将足尺人造板在其长度、宽度方向22.4%和77.6%的节线（分别为足尺人造板自由振动沿长度和宽度方向一阶弯曲振型的两条节线）的4个交点处支承，并开发了四节点支承的大尺寸人造板力学性能无损检测装置，实现了包括足尺胶合板在内的多种足尺人造板的两个主要方向弹性模量的快速无损检测。
综上所述，目前为止运用振动法无损检测足尺胶合板的两个主要方向弹性模量所研究的边界条件有：一边简支而其他三边自由、完全自由和四节点支承。虽然这3种边界条件均可以实现实验室环境的足尺胶合板两个主要方向弹性模量的无损检测。但这3种边界条件的研究成果均不太适合实际生产车间环境下的应用，在生产车间条件下完全自由和一边简支而其他三边自由这两种边界条件较难实现，而四节点支承边界条件虽然可以实现，但是为保证检测结果准确可靠，需要保证被测板材的精准定位，此部分操作费时费力从而导致检测效率降低。两对边简支边界条件只需将被测板材在两条短边处简支支承便可达到，因其便于对板材进行定位的优点，在实验室和生产车间均更具有实现足尺胶合板的两个主要方向弹性模量快速无损检测的潜力。
本研究提出了一种结合振动检测试验和弹性模量检测算法对两对边简支的足尺胶合板两个主要方向的弹性模量进行同步无损检测的方法。首先，应用有限元软件COMSOL Multiphysics对两对边简支的足尺胶合板进行模态灵敏度分析，确定了分别对足尺胶合板两个主要方向弹性模量最灵敏的模态，并基于足尺胶合板所需模态频率和对应弹性模量间的数学关系，建立弹性模量检测算法在对两对边简支足尺胶合板通过试验模态分析确定所需模态阶次的基础上，采用提出的振动检测试验法将足尺胶合板所需模态的频率提取出来，并带入到编写的弹性模量检测算法中，获得足尺胶合板两个主要方向的动态弹性模量；最后，运用三点弯曲静态试验检测得出足尺胶合板两个主要方向的静态弹性模量，通过动静弹性模量的对比分析以验证上述方法的可行性，从而为足尺胶合板两个主要方向弹性模量的快速无损检测提供一种新方法。
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本研究中足尺胶合板的横向自由振动满足以下假设：足尺胶合板被假定为正交各向异性的均匀材料，且其在横向载荷下产生小挠度变形，并忽略剪切变形和旋转惯量的影响。
基于上述假定，足尺胶合板横向自由振动的控制微分方程如下[6]：
$${D_x}\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^4}}} + {D_y}\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {y^4}}} + 2( {{D_{\rm{1}}} + 2{D_{xy}}} )\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^2}{y^2}}} + \rho h\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} = 0$$ (1) 式中：Dx为足尺胶合板长度方向的弯曲刚度，
${D_x} = {{E_x}{h^3}} / {[ {12(1 - {v_{xy}}{v_{yx}})} ]}$ ，其中Ex为足尺胶合板长度方向的弹性模量，vxy和vyx为足尺胶合板的泊松比，$1 - {v_{xy}}{v_{yx}}$ 的取值为0.99[6]；Dy为足尺胶合板宽度方向的弯曲刚度，${D_y} = {{{E_y}{h^3}} / {[ {12(1 - {v_{xy}}{v_{yx}})} ]}}$ ，其中Ey为足尺胶合板宽度方向的弹性模量；D1为折算刚度，${D_1} = {D_x}{v_{yx}} = {D_y}{v_{xy}}$ ；Dxy为抗扭刚度，${D_{xy}} = {{{G_{xy}}{h^3}} / {{\rm{12}}}}$ ，其中Gxy为足尺胶合板x-y平面内的剪切模量；w即w(x, y, t)为足尺胶合板的挠度函数；h和ρ分别为足尺胶合板的厚度和密度。两对边简支的足尺胶合板，即将足尺胶合板在其两条短边处简支支承，两条长边自由，如图1所示。
图 1 足尺胶合板两对边简支
Figure 1. Full-size plywood panel simply supported on two opposite sides
虽然已有研究者推导出了两对边简支板材自由振动控制微分方程的解析解，但因涉及到超越方程，所以无法得出此边界条件下板材自由振动的固有频率表达式[7]。因此，本文参照文献[8]基于瑞利法求解两对边简支足尺胶合板的振动控制微分方程，得到其固有频率解的近似表达式如下：
$${f_{\left( {m,n} \right)}} = \frac{{{{\text{π}}^2}}}{{ab}}\sqrt {\frac{H}{{\rho h}}} \sqrt {\frac{{{C_{(m,n)}} + {c^2}{C_{(m,n + 2)}} + {d^2}{C_{(m + 2,n)}} - 2c{O_{(m,n)}} - 2d{O_{(n,m)}} + 2cdQ}}{{1 + {c^2} + {d^2}}}} $$ (2) 式中：
$H = {D_1} + 2{D_{xy}}$ ；a和b分别为足尺胶合板的长度和宽度；f(m, n)为模态(m, n)的固有频率，m和n分别代表包括简支边在内的每个模态振型宽度和长度方向上的节线数目；C(m, n)、O(m, n)和Q均为与模态(m, n)相关的参数；O(n, m)为与模态(n, m)相关的参数；C(m, n+2)和C(m+2, n)分别为与模态(m, n+2)和(m+2, n)相关的参数；c和d为与模态(m, n)、(n, m)、(m, n+2)和(m+2, n)均相关的参数。上述参数的计算表达式分别如下文所示。$$\begin{aligned} {C_{(m,n)}} = \;& ( {{{{D_x}} / H}} )P_m^4( {{{{b^2}}/ {{a^2}}}} ) + ( {{{{D_y}} / H}} )P_n^4( {{{{a^2}} / {{b^2}}}} ) + \\ & 2[ {{I_m}{I_n} + 2( {{{{D_{xy}}} / H}} )} {( {{J_m}{J_n} - {I_m}{I_n}} )} ] \end{aligned}$$ (3) 式中：P，I和J均为与足尺胶合板的模态振型相关的系数，具体取值见表1。
表 1 固有频率表达式中的系数值
Table 1. Coefficient values of the natural frequency expression
宽度方向 Width direction 长度方向 Length direction 系数
Coefficient取值 Value 系数
Coefficient取值 Value m = 2 n = 0 n = 2 Pm 1 Pn 0 1.506 Im 1 In 0 1.247 Jm 1 Jn 0 5.013 Km 0 Kn 1.883 5.328 Lm 0 Ln 0 0.182 Mm 0 Mn 0 3.584 P(m+2) 3 P(n+2) 1.506 3.500 I(m+2) 9 I(n+2) 1.247 10.022 J(m+2) 9 J(n+2) 5.013 18.935 K(m+2) 0 K(n+2) 5.328 6.092 L(m+2) 0 L(n+2) 0.182 0.999 M(m+2) 0 M(n+2) 3.584 7.914 注：P、I、J、K、L和M均为与足尺胶合板的模态振型相关的系数，其取值引自参考文献[8]。Notes：P, I, J, K, L and M are the coefficients related to mode shapes of full-size plywood panel, and the values of these coefficients are cited from reference [8]. $$\begin{aligned} {C_{(m,n + 2)}} = \; & ( {{{{D_x}} / H}} )P_m^4( {{{{b^2}} / {{a^2}}}} ) + ( {{{{D_y}} / H}} )P_{(n + 2)}^4( {{{{a^2}} / {{b^2}}}} ) + \\ & 2[ {{I_m}{I_{(n + 2)}} + 2( {{{{D_{xy}}} / H}} )} {( {{J_m}{J_{(n + 2)}} - {I_m}{I_{(n + 2)}}} )} ] \end{aligned}$$ (4) $$\begin{aligned} {C_{(m + 2,n)}} = \; & ( {{{{D_x}} / H}} )P_{(m + 2)}^4( {{{{b^2}} / {{a^2}}}} ) + ( {{{{D_y}}/ H}} )P_n^4( {{{{a^2}}/ {{b^2}}}} ) + \\ & 2[ {{I_{(m + 2)}}{I_n} + 2( {{{{D_{xy}}} / H}} )} {( {{J_{(m + 2)}}{J_n} - {I_{(m + 2)}}{I_n}} )} ] \end{aligned}$$ (5) $${O_{(m,n)}} = {I_m}( {{K_n} + {L_n}} )[ {2( {{{{D_{xy}}} / H}} )} - 1 ] + 4( {{{{D_{xy}}} / H}} ){J_m}{M_n}$$ (6) 式中：K、L和M均为与足尺胶合板的模态振型相关的系数，具体取值见表1。
$${O_{(n,m)}} = {I_n}( {{K_m} + {L_m}} )[ {2( {{{{D_{xy}}} / H}} )} - 1 ] + 4( {{{{D_{xy}}} / H}} ){J_n}{M_m}$$ (7) $$Q = - ( {{K_m}{K_n} + {L_m}{L_n}} )[ {2( {{{{D_{xy}}} / H}} )} - 1 ] + 4 ( {{{{D_{xy}}} / H}} ){M_m}{M_n}$$ (8) $$c = {{( {{C_{(m + 2,n)}}{O_{(m,n)}} - {O_{(n,m)}}Q} )} / {( {{C_{(m,n + 2)}}{C_{(m + 2,n)}} - {Q^2}} )}}$$ (9) $$d = {{( {{C_{(m,n + 2)}}{O_{(n,m)}} - {O_{(m.n)}}Q} )} / {( {{C_{(m,n + 2)}}{C_{(m + 2,n)}} - {Q^2}} )}}$$ (10) -
板材在自由振动情况下，会有频率不同的多种模态同时出现[9]；将频率由低向高进行排序和编号后，相对应的模态称为第几阶模态。板材在不同边界条件下，其自由振动的模态是不同的[3-5,10]。另外，板材不同阶次的模态会与其特定弹性模量更相关[10-12]，因此从某一弹性模量检测的角度讲，应当利用与该弹性模量密切相关的模态去检测。找到与板材某一弹性模量密切相关的模态的过程，被称为板材的模态灵敏度分析[10]。
管成等[5]研究表明：同种边界条件下包括足尺胶合板在内的人造板的厚度对其两个主要方向弹性模量的模态灵敏度分析结果没有影响。因此，本研究首先利用有限元软件COMSOL Multiphysics，对两对边简支且厚度为18 mm的足尺胶合板的振动模态进行了模拟计算。在该有限元软件中选择结构力学模块中的张量混合插值类型板单元，令板材的长度、宽度和厚度方向分别为X轴、Y轴和Z轴，并对应输入板材的长度（2 400 mm）、宽度（1 221 mm）和厚度值（18 mm），对足尺胶合板进行建模。弹性模量、剪切模量、泊松比、密度等板材基本物理力学性能参数，根据参考文献[10,13-14]查到的足尺胶合板的相关值（表2）输入。计算求得两对边简支且厚度为18 mm的足尺胶合板自由振动的前9阶模态振型（图2），将足尺胶合板前9阶计算模态按照频率由低到高进行排序，其频率分别是4.1、8.6、16.5、22.3、37.0、43.2、45.9、55.4和72.9 Hz。
表 2 两对边简支的足尺胶合板计算模态分析的初始参数
Table 2. Initial parameters for calculated modeanalysis of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
板材种类
Panel type弹性模量
Modulus of elasticity (MOE)/MPa剪切模量
Shear modulus/MPa泊松比
Poisson’s ratio (υxy)密度
Density/(kg·m−3)尺寸
DimensionEx Ey Gxy Gyz Gxz 胶合板 Plywood 5 200 6 950 950 170 220 0.039 574 2 440 mm × 1 221 mm × 18 mm 注：表中数据引自参考文献[10]、[13]和[14]。Ex和Ey分别为足尺胶合板长度和宽度方向的弹性模量，Gxy、 Gyz和Gxz分别为足尺胶合板x-y、y-z和x-z平面内的剪切模量。下同。Notes：data in the table are cited from reference [10], [13] and [14]. Ex and Ey represent the MOE in length and width directions of full-size plywood panel, respectively. Gxy, Gyz and Gxz represent the shear modulus in the x-y, y-z and x-z planes of full-size plywood panels, respectively. Same as below. 
图 2 两对边简支的足尺胶合板的前9阶计算模态振型图
Figure 2. Diagrams of the first nine calculated mode shapes of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
在得到两对边简支足尺胶合板自由振动的前9阶计算模态参数后，以此结果为基础，继续利用该有限元软件进行模态灵敏度分析。本研究以同步检测足尺胶合板长度方向弹性模量Ex和宽度方向弹性模量Ey为目标，重点分析并找到与这两个弹性模量密切相关的模态。模态灵敏度的计算公式如下：
$${\Delta S} = |{f_{1}} - {f_0}|/{f_0}$$ (11) 式中：ΔS表示模态灵敏度，f0表示输入足尺胶合板的初始参数后计算得到的每个模态对应的固有频率，
${f_{1}} $ 表示将Ex和Ey中单个弹性模量减少10%后计算得到的每个模态对应的固有频率。两对边简支的足尺胶合板自由振动前9阶模态对Ex和Ey这两个弹性模量的模态灵敏度分析结果如图3所示。从图3中可以看出：模态（m, 0）和（m, 1）（m ≥ 2）对Ex灵敏，且随着m的增大，灵敏度分别逐渐减小和迅速增大，其中第1阶模态（2, 0）对Ex的灵敏度最高；模态（m, 2）（m ≥ 2）对Ey灵敏，且随着m的增大，灵敏度迅速减小，其中第7阶模态（2, 2）对Ey的灵敏度最高。因此分别选择足尺胶合板第1阶模态（2, 0）和第7阶模态（2, 2）的固有频率计算Ex和Ey。
图 3 两对边简支足尺胶合板前9阶模态对弹性模量的灵敏度分析结果
Figure 3. Sensitivity analysis results of the first nine modes to MOE of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
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参照文献[15]，本研究提出了一种适用于两对边简支足尺胶合板的两个主要方向弹性模量的振动检测算法。该弹性模量检测算法的基本原理是在已知足尺胶合板的基本参数、弹性模量初始值和对应模态实测频率的情况下，通过减小实测模态频率和计算模态频率间的相对偏差，进行弹性模量的迭代，以获得更精确的弹性模量值。该弹性模量检测算法程序采用MATLAB软件编写。
弹性模量振动检测算法的流程如图4所示，其中f e和f c分别代表实测模态频率和计算模态频率。该算法的具体工作内容和流程如下：
图 4 两对边简支足尺胶合板弹性模量的振动检测算法程序流程图
Figure 4. Flowchart of vibration detection algorithm for MOE of the full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
（1）测量足尺胶合板的第1阶模态（2, 0）和第7阶模态（2, 2）的频率；
（2）利用式（12）[16]和式（13）[17]分别计算足尺胶合板两个主要方向的弹性模量Ex和Ey的初始值。
$${E_{x0}} = \frac{{48(1 - {v_{xy}}{v_{yx}}){a^4}{{(f_{(2,0)}^{\rm{e}})}^2}\rho }}{{{{\text{π}} ^2}{h^2}}}$$ (12) 式中：Ex0为足尺胶合板长度方向弹性模量Ex的初始值，
$f_{(2,0)}^{\rm{e}}$ 为第1阶模态（2, 0）的实测频率。$${E_y}_0 = {E_x}_0\frac{{{v_{yx}}}}{{{v_{xy}}}}$$ (13) 式中：Ey0为足尺胶合板宽度方向弹性模量Ey的初始值。
（3）运用式（2）得出模态（2, 0）和（2, 2）的计算频率；
（4）分别计算每个模态的实测频率和计算频率间的相对偏差，如果相对偏差大于0.1%，则将对应弹性模量值进行调整（增大或减小0.1%）；如果相对偏差小于或等于0.1%，则保持对应弹性模量值不变。得到一组新的弹性模量值，重复步骤（3）；
（5）直到这两个模态的实测频率和计算频率间的相对偏差均小于0.1%时，停止迭代，并输出足尺胶合板Ex和Ey的最终值。
基于上述两对边简支板材振动基础理论、模态灵敏度分析结果以及弹性模量振动检测算法，已知足尺胶合板几何尺寸、密度、泊松比和其在两对边简支边界条件下的自由振动模态（2, 0）和（2, 2）的固有频率后，即可得到足尺胶合板两个主要方向的动态弹性模量值。因此，首先需要对两对边简支足尺胶合板进行试验模态分析，测得其自由振动的前9阶模态参数（包括模态振型及其频率），验证前面计算模态所确定的模态（2, 0）和（2, 2）的阶次，进而可以建立弹性模量振动检测试验方法，获得这两阶模态的固有频率，结合弹性模量振动检测算法，从而检测出足尺胶合板长度和宽度方向的动态弹性模量。
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本研究所用足尺胶合板，由山东鲁丽集团有限公司提供，用杨木（Populus spp.）单板使用脲醛树脂胶合制成。包括4个厚度，每个厚度有5张板，共20张板材，平均含水率为6%，具体尺寸等参数如表3所示。表中字母缩写PW代表胶合板，PW后的数字代表板材的标称厚度，平均密度是所有相同厚度的足尺胶合板的质量除以其体积获得的密度的平均值。
表 3 被测足尺胶合板的基本参数
Table 3. Basic parameters of the measured full-size plywood panels
板材
Panel板材尺寸
Panel dimension平均密度
Average density/(kg·m−3)PW12 2 441 mm × 1 221 mm × 12 mm 541 PW15 2 440 mm × 1 221 mm × 15 mm 534 PW18 2 441 mm × 1 222 mm × 18 mm 532 PW20 2 440 mm × 1 221 mm × 20 mm 524 注：PW12、PW15、PW18和PW20分别代表标称厚度为12、15、18和20 mm的胶合板。Notes: PW12, PW15, PW18 and PW20 represent the full-size plywood panels with nominal thickness of 12, 15, 18 and 20 mm, respectively. -
采用丹麦B&K公司开发的3560C型PULSE振动测试系统对被测足尺胶合板进行试验模态分析，2302-10型脉冲锤用于激振，4507-B-004型加速度传感器用于拾振。
两对边简支足尺胶合板的模态参数振动检测装置如图5所示。首先，在被测足尺胶合板上划分出8 × 4的网格，将网格线之间的交点以及网格线与板材边界线之间的交点，共45个点，作为激振点，如图5中的黑色实心点所示；接着，将被测足尺胶合板在两条短对边处用不锈钢钢管支承，实现两对边简支边界条件，在板材一侧长边的7/12处布置一个加速度传感器，此位置不在足尺胶合板自由振动前9阶模态振型的节线上[15]；然后，使用脉冲锤对所有激振点逐个进行激振，同时加速度传感器拾取足尺胶合板的振动信号。信号采集分析系统采集激振和拾振信号并得出所有激振点的频率响应函数后，将其导入到ME’ scope后处理软件中，得到两对边简支足尺胶合板自由振动的前9阶试验模态参数。
图 5 两对边简支足尺胶合板的模态参数振动检测装置图
Figure 5. Diagram of vibration detection equipment for modal parameters of the full-size plywood panel simply supported on two opposite sides
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试验模态分析耗时长，操作相对繁琐，为了实现足尺胶合板弹性模量的在线快速检测，在利用试验模态分析确定用于计算两对边简支足尺胶合板的两个主要方向弹性模量所需模态阶次的基础上，本研究提出了一种足尺胶合板弹性模量振动检测试验方法，即根据两对边简支足尺胶合板特定激振点的频率响应函数幅值信号的峰值分布，提取所需的试验模态频率，并将其带入弹性模量检测算法中得到被测足尺胶合板长度和宽度方向的动态弹性模量值。
采用上述试验模态分析方法中使用的设备和检测装置，足尺胶合板的支承方式及加速度传感器的布置位置也保持不变。但此时的激振点数目减少为1个，即将足尺胶合板布置有加速度传感器的同侧长边，且距加速度传感器较远的1/4处作为激振点，如图5中板材一侧长边的编号为7的黑色实心点所示。信号采集分析系统采集此激振点的激振和拾振信号后，得出其频率响应函数的幅值信号，如图6所示。通过观察其峰值情况，将第1个峰值和第7个峰值对应的频率即模态（2, 0）和（2, 2）的固有频率提取出来。最后将模态（2, 0）和（2, 2）的固有频率代入到前面的足尺胶合板弹性模量检测算法中，得到被测足尺胶合板长度和宽度方向的动态弹性模量值。
图 6 激振点的频率响应函数幅值图
Figure 6. Amplitude diagram of frequency response function of excitation point
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为验证运用弹性模量振动检测试验方法测试足尺胶合板两个主要方向弹性模量的可行性，本节按照GB/T 9846—2015《普通胶合板》[18]从每块足尺胶合板的长度和宽度方向各裁下6个标准小试件进行弹性模量静态检测试验，小试件的长度和宽度分别为550和50 mm。按照GB/T 17657—2013《人造板及饰面人造板理化性能试验方法》[19]，使用深圳瑞格尔仪器有限公司生产的万能力学试验机，进行小试件的三点弯曲试验测量其静态弹性模量。其中，厚度为12、15、18和20 mm的标准小试件的支承跨度分别为240、300、400和400 mm。将每块足尺胶合板同一方向的6个小试件弹性模量的平均值作为其在该方向的静态弹性模量。
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通过试验模态分析测得的两对边简支的4种厚度足尺胶合板自由振动的前9阶模态的参数如表4所示。由表4可知：在两对边简支边界条件下，足尺胶合板的厚度变化对其自由振动的前9阶模态的振型及其阶次排序没有影响，且同一阶模态对应的频率随着板材厚度的增加而增大，两者之间成正相关；两对边简支足尺胶合板的前9阶模态，按照阶次由低到高分别为模态（2, 0）、（2, 1）、（3, 0）、（3, 1）、（4, 0）、（4, 1）、（2, 2）、（3, 2）和（4, 2）。其中，第1、3和5阶模态振型分别为沿长度方向有2、3和4条节线的纯弯曲，第2、4和6阶模态振型分别为沿长度方向有2、3和4条节线的弯曲和扭转的叠加，第7、8和9阶模态振型分别为沿宽度方向有2条节线，长度方向有2、3和4条节线的两个方向弯曲的叠加，即除第1、3和5阶模态外，足尺胶合板的前9阶模态中的其他模态均为单一方向的弯曲和扭转或不同方向的弯曲叠加形成的耦合模态。另外，两对边简支边界条件下的4种厚度足尺胶合板，用于计算其长度和宽度方向弹性模量的频率对应模态（2, 0）和模态（2, 2）的阶次都是第1阶和第7阶，为本研究中足尺胶合板弹性模量振动检测试验方法测试这两阶模态的频率提供了指导。
表 4 两对边简支足尺胶合板的前9阶模态参数
Table 4. The first nine mode parameters of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
Hz 阶次 Order PW12 PW15 PW18 PW20 振型 Vibration mode 1 3.1 3.6 4.3 4.5 (2, 0) 2 6.4 7.5 9.1 9.4 (2, 1) 3 11.3 13.8 16.7 17.2 (3, 0) 4 15.3 17.3 22.2 24.6 (3, 1) 5 24.8 30.2 34.0 35.0 (4, 0) 6 29.8 34.6 42.2 43.0 (4, 1) 7 31.0 38.2 46.7 49.0 (2, 2) 8 35.2 43.2 54.3 56.5 (3, 2) 9 48.5 57.0 70.0 71.0 (4, 2) 以18 mm厚度的足尺胶合板为例，其在两对边简支边界条件下自由振动的前9阶试验模态振型如图7所示。由图2和图7对比可知：通过试验模态分析得到的两对边简支足尺胶合板自由振动的前9阶模态的振型和其阶次顺序与计算模态分析得到的结果是一致的。从模态振型的角度印证了这两种方法用于分析两对边简支的足尺胶合板前9阶模态的可行性，也说明了通过计算模态分析方法确定的两对边简支足尺胶合板的模态灵敏度分析的结果是正确的。
图 7 两对边简支的足尺胶合板的前9阶模态振型图
Figure 7. The first nine mode shapes of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
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本研究选择的4种厚度的足尺胶合板的平均密度在524 ~ 541 kg/m3之间，并且在板材弹性模量的理论计算中考虑了密度和厚度的影响，式（10）显示：足尺胶合板弹性模量与板材密度成正比，与板材厚度的平方成反比。故通过分别分析ρ/h2与足尺胶合板长度和宽度方向的动态弹性模量（Ex d和Ey d）之间的关系，来评价足尺胶合板的密度和厚度对其弹性模量的综合影响。运用振动法测得的4种厚度的足尺胶合板的两个主要方向弹性模量平均值与板材厚度和密度平均值间的关系如图8所示。从图8中可以看出：随着ρ/h2值的增大，足尺胶合板长度方向的动态弹性模量Ex d先减小后增大，宽度方向的动态弹性模量Ey d先增大后减小。因足尺胶合板的动态弹性模量还受到板材尺寸和相对应模态的固有频率的影响，而本研究中板材的长度和宽度尺寸基本保持不变，故此处也综合分析了足尺胶合板每个方向的动态弹性模量与其对应振动模态的频率（长度方向弹性模量对应的模态（2, 0）的频率和宽度方向弹性模量对应的模态（2, 2）的频率）、密度和厚度间的关系。通过散点图获得4种厚度的足尺胶合板的两个主要方向的动态弹性模量与其对应振动模态的频率、密度和厚度间的关系如图9所示。从图9中可以看出：无论足尺胶合板长度方向还是宽度方向的弹性模量与其对应振动模态的频率、密度和厚度这3个参数形成的综合参数（f 2ρ/h2）均具有良好的线性相关性，决定系数分别为0.999和0.931。
图 8 运用振动法测得的足尺胶合板两个方向弹性模量与ρ/h2间的关系
Figure 8. Relationship between MOE values in both directions of full-size plywood panels obtained from vibration method and ρ/h2
图 9 运用振动法测得的足尺胶合板两个方向弹性模量与其对应振动模态的f 2ρ/h2间的关系
Figure 9. Relationship between MOE values in both directions of full-size plywood panels obtained from vibration method and f 2ρ/h2 of the corresponding modes
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4种厚度的足尺胶合板运用振动法和静态法测得的两个主要方向弹性模量结果如表5所示。由表5可知：除12 mm厚的足尺胶合板外，其余厚度的足尺胶合板长度方向的动态弹性模量（Ex d）均小于宽度方向的动态弹性模量（Ey d），而所有厚度的足尺胶合板长度方向的静态弹性模量（Ex s）均小于宽度方向的静态弹性模量（Ey s），且足尺胶合板长度和宽度方向的动态弹性模量均大于其静态弹性模量。其中，4种厚度的足尺胶合板，Ex d和Ex s间的相对偏差分别为20.4%、11.4%、10.6%和6.3%，总体相对偏差为12.2%；Ey d和Ey s间的相对偏差分别为14.7%、11.0%、4.0%和2.0%，总体相对偏差为7.9%。随着厚度的增加，足尺胶合板Ex d和Ex s间及Ey d和Ey s间的相对偏差均逐渐减小。足尺胶合板两个方向的动态弹性模量均大于其静态弹性模量，可能的原因如下：足尺胶合板在振动检测试验过程中的变形是瞬时完成的，其速度远快于三点弯曲试验中的对小试件进行加载的速度。且Bos等研究表明[4]在静态慢速加载时，板材本身的黏弹性尤其是胶黏剂的黏弹性对胶合板弹性模量的检测会产生较大影响，从而导致静态三点弯曲试验测得的弹性模量数值偏小；另外，Mclain等[20]的研究表明板材局部缺陷（如局部胶层不连续，节子和空洞的存在等）在振动测试中的影响会被削弱，而在小试件三点弯曲试验中的影响则容易增强，导致测得的静态弹性模量值偏小。
表 5 两种方法测得的足尺胶合板弹性模量结果
Table 5. Results for MOE values of full-size plywood panels measured by two methods
板材 Panel MOE 振动法 Vibration method 静态法 Static method Ex d Ey d Ex s Ey s PW12 平均值 Mean value/MPa 7 057 6 841 5 864 5 964 标准偏差 Standard deviation/MPa 481 210 410 178 变异系数 Coefficient of variation/% 6.8 3.1 7.0 3.0 相对偏差 Relative deviation/% 20.4 14.7 PW15 平均值 Mean value/MPa 5 151 6 954 4 625 6 262 标准偏差 Standard deviation/MPa 470 267 360 211 变异系数 Coefficient of variation/% 9.1 3.8 7.8 3.4 相对偏差 Relative deviation/% 11.4 11.0 PW18 平均值 Mean value/MPa 4 846 6 886 4 383 6 619 标准偏差 Standard deviation/MPa 460 144 362 126 变异系数 Coefficient of variation/% 9.5 2.1 8.3 1.9 相对偏差 Relative deviation/% 10.6 4.0 PW20 平均值 Mean value/MPa 5 358 5 755 5 041 5 644 标准偏差 Standard deviation/MPa 863 260 733 270 变异系数 Coefficient of variation/% 16.1 4.5 14.5 4.8 相对偏差 Relative deviation/% 6.3 2.0 注：变异系数 = 标准偏差/平均值；相对偏差 = (动态弹性模量 − 静态弹性模量)/静态弹性模量。Notes: coefficient of variation is the ratio of standard deviation to mean value; relative deviation is the ratio of difference between dynamic MOE and static MOE to the static MOE. 同时，振动法与静态法测得的4种厚度足尺胶合板的长度和宽度方向弹性模量的变异系数分别在6.0% ~ 17.0%和2.0% ~ 5.0%之间，说明同一厚度的足尺胶合板的力学性能存在不均匀性。另外，变异系数随着足尺胶合板厚度的增加而增大，出现这种情况可能是由于构成足尺胶合板的单板力学性能变异性较大导致的，而随着厚度的增加，即单板层数增加，使胶合板力学性能的差异性更为显著。
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运用振动法和静态法测得的4种厚度足尺胶合板长度和宽度方向的弹性模量的关系如图10所示。从图10可以看到：足尺胶合板的Ex d与Ex s间及Ey d与Ey s之间均具有显著的线性关系，决定系数分别为0.907和0.655。足尺胶合板长度方向的动静弹性模量之间的相关性非常显著，在已有研究中双节线支承边界条件下测得的足尺胶合板的动静态弹性模量之间也有类似的相关性[21]。足尺胶合板长度方向动、静态弹性模量之间的相关关系较好的原因之一可能是：用于计算其长度方向弹性模量采用的是模态（2, 0）的频率，该模态为沿长度方向的纯弯曲模态，此模态仅对长度方向弹性模量灵敏度高且其模态频率与弹性模量之间的关系相对简单。而足尺胶合板宽度方向动、静态弹性模量之间的相关关系相对较差的原因可能是：用于计算其宽度方向弹性模量采用的是模态（2, 2）的频率，该模态可以认为是模态（2, 0）和模态（0, 2）叠加而成的，属于耦合模态，非宽度方向单纯弯曲振动，导致涉及多个弹性常数的耦合效应。为提高宽度方向动、静态弹性模量的相关系数，在后续研究中将重点完善从模态（2, 2）中剔除模态（2, 0）影响的宽度方向动态弹性模量的计算方式。
图 10 两种方法测得的足尺胶合板弹性模量间的关系
Figure 10. Relationship between MOE results of full-size plywood panels measured by two methods
利用SPSS软件对足尺胶合板每种厚度的弹性模量动态和静态检测数据及总体数据进行一元线性回归。足尺胶合板每种厚度的弹性模量动态和静态试验数据及总体数据的一元线性回归方程及相关参数如表 6所示。从表6中可以看出：分厚度进行回归分析时，对Ex来说，12、15和18 mm厚度的足尺胶合板的Ex d和Ex s均在0.05水平显著相关；20 mm厚度的足尺胶合板的动态Ex d和Ex s在0.001水平显著相关，且相关系数均在0.9以上。对Ey来说，12和15 mm厚度的足尺胶合板的Ey d和Ey s均在0.05水平显著相关，18 mm厚度的足尺胶合板的Ey d和Ey s在0.01水平显著相关，20 mm厚度的足尺胶合板的Ey d和Ey s在0.001水平显著相关，且相关系数均在0.8以上。所有数据进行回归分析时，Ex d和Ex s及Ey d和Ey s均在0.001水平显著线性相关，且相关系数均在0.8以上。
表 6 两种方法测得的足尺胶合板弹性模量的一元线性回归及相关参数
Table 6. One-dimensional linear regression and related parameters of MOE of full-size plywood panels measured by two methods
MOE 板材
Panel数量
Numbery = kx + r 相关系数
Correlation coefficientF值
F value显著性
Significancek r Ex PW12 5 0.812 134.225 0.952 29.329 0.012 PW15 5 0.704 996.482 0.921 16.733 0.026 PW18 5 0.754 727.515 0.957 32.957 0.010 PW20 5 0.841 534.570 0.991 157.710 0.001 PW 20 0.691 1 107.289 0.965 246.123 0.000 Ey PW12 5 0.771 690.256 0.911 14.635 0.031 PW15 5 0.693 1 440.095 0.878 10.062 0.050 PW18 5 0.839 842.478 0.961 36.134 0.009 PW20 5 1.028 −272.761 0.993 206.327 0.001 PW 20 0.616 2 052.229 0.809 34.185 0.000 注：y = kx + r，式中x和y分别代表足尺胶合板的动态和静态弹性模量，k为回归系数，r为常数。Notes: in the formula y = kx + r, x and y represent the dynamic and static MOE of full-size plywood panel, respectively, k is the regression coefficient and r is a constant. 综上所述，基于两对边简支振动和弹性模量振动检测算法，对足尺胶合板长度和宽度方向的弹性模量进行无损检测是可行的。
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（1）两对边简支边界条件下，通过计算模态分析和试验模态分析方法得到的足尺胶合板自由振动前9阶模态振型及其阶次顺序保持一致，且厚度变化对足尺胶合板的前9阶模态的阶次排序没有影响，而同一模态对应的频率与足尺胶合板的厚度成正相关。
（2）利用两对边简支振动检测试验测得的足尺胶合板的第1阶和第7阶振动模态频率及弹性模量检测算法，可以同步获得被测足尺胶合板的长度和宽度这两个主要方向的弹性模量Ex和Ey。
（3）对比振动检测试验和静态试验结果发现，两对边简支振动测得的足尺胶合板的动态Ex d和Ey d值均大于标准静态试验测得的静态Ex s和Ey s值，且同一厚度的足尺胶合板的力学性能存在不均匀性。
（4）足尺胶合板的Ex d与Ex s间及Ey d与Ey s之间均具有显著的线性关系，决定系数分别为0.907和0.655，证明基于两对边简支振动和弹性模量振动检测算法无损检测足尺胶合板两个主要方向的弹性模量是可行的。
Determining modulus of elasticity of full-size plywood panel simply supported on two opposite sides using a vibration method
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摘要:
目的 研究足尺胶合板两个主要方向（即长度和宽度方向）弹性模量的两对边简支振动检测，为足尺胶合板两个主要方向弹性模量的在线无损检测提供一种新方法。 方法 以4种厚度共20块足尺胶合板为研究对象，采用有限元软件COMSOL Multiphysics和PULSE振动测试系统分别对两对边简支的足尺胶合板进行了模态灵敏度分析和试验模态分析；提出了一种两对边简支边界条件下的足尺胶合板弹性模量振动检测试验方法，运用此方法提取出足尺胶合板所需模态的频率，将其带入到编写的弹性模量检测算法中，用以计算足尺胶合板两个主要方向的动态弹性模量值；进行了三点弯曲静态试验检测足尺胶合板两个主要方向的静态弹性模量值，用以验证动态弹性模量检测结果的准确性。 结果 确定了用于计算足尺胶合板两个主要方向弹性模量的频率所对应的模态，分别为其自由振动前9阶模态中的第1阶模态（2, 0）和第7阶模态（2, 2）；厚度变化对足尺胶合板的前9阶模态的阶次排序没有影响；足尺胶合板两个主要方向的动态弹性模量均大于静态弹性模量，且同一厚度足尺胶合板的力学性能存在不均匀性；足尺胶合板长度和宽度方向的动态弹性模量与静态弹性模量间均具有显著的线性关系，决定系数分别为0.907和0.655。 结论 基于两对边简支振动和弹性模量振动检测算法检测足尺胶合板两个主要方向的弹性模量具有可行性。 Abstract:Objective To provide a new method for the online non-destructive determination for modulus of elasticity (MOE) in two main directions of a full-size plywood panel, the vibration determination for MOE in two main directions of a full-size plywood panel simply supported on two opposite sides was studied. Method 20 pieces of full-size plywood panels with four different thicknesses were used as study objects. The modal sensitivity analysis and experimental modal analysis of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides were performed using finite element software COMSOL Multiphysics and the PULSE vibration test system. The frequencies of needed modes were obtained by a vibration detection method for MOE of the full-size plywood panel proposed in this study, then incorporated into a vibration detection algorithm of the dynamic MOE in two main directions of a full-size plywood panel. In order to verify the accuracy of the dynamic MOE values measured, the static MOE values in two main directions of a full-size plywood panel were also obtained through three-point bending test. Result The frequencies of free vibration modes (2, 0) and (2, 2) as the first and seventh modes in the first nine modes of the full-size plywood panel were conducted for calculation of MOE in the length and width directions of the panels, respectively. The results revealed that thickness variation had no effect on the ordering of the first nine modes for the full-size plywood panels. The dynamic MOE values were greater than the static ones of the full-size plywood panels, and there existed inhomogeneity of mechanical properties for the full-size plywood panels with the same thickness. Dynamic MOE had a strong correlation with static MOE in both length and width directions of the full-size plywood panels (R2 = 0.907 and 0.655, respectively). Conclusion It is feasible for determining MOE of a full-size plywood panel based on two-opposite-side vibration and vibration detection algorithm for MOE. -
图 1 足尺胶合板两对边简支
Figure 1. Full-size plywood panel simply supported on two opposite sides
图 2 两对边简支的足尺胶合板的前9阶计算模态振型图
Figure 2. Diagrams of the first nine calculated mode shapes of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
图 3 两对边简支足尺胶合板前9阶模态对弹性模量的灵敏度分析结果
Figure 3. Sensitivity analysis results of the first nine modes to MOE of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
图 4 两对边简支足尺胶合板弹性模量的振动检测算法程序流程图
Figure 4. Flowchart of vibration detection algorithm for MOE of the full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
图 5 两对边简支足尺胶合板的模态参数振动检测装置图
Figure 5. Diagram of vibration detection equipment for modal parameters of the full-size plywood panel simply supported on two opposite sides
图 6 激振点的频率响应函数幅值图
Figure 6. Amplitude diagram of frequency response function of excitation point
图 7 两对边简支的足尺胶合板的前9阶模态振型图
Figure 7. The first nine mode shapes of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
图 8 运用振动法测得的足尺胶合板两个方向弹性模量与ρ/h2间的关系
Ex d和Ey d分别为足尺胶合板的长度和宽度方向的动态弹性模量，h为板材厚度， ρ为板材密度。Ex d and Ey d represent the dynamic MOE in length and width directions of full-size plywood panel, respectively. h is thickness, and ρ is density of the panel.
Figure 8. Relationship between MOE values in both directions of full-size plywood panels obtained from vibration method and ρ/h2
图 9 运用振动法测得的足尺胶合板两个方向弹性模量与其对应振动模态的f 2ρ/h2间的关系
Figure 9. Relationship between MOE values in both directions of full-size plywood panels obtained from vibration method and f 2ρ/h2 of the corresponding modes
图 10 两种方法测得的足尺胶合板弹性模量间的关系
Figure 10. Relationship between MOE results of full-size plywood panels measured by two methods
表 1 固有频率表达式中的系数值
Table 1. Coefficient values of the natural frequency expression
宽度方向 Width direction 长度方向 Length direction 系数
Coefficient取值 Value 系数
Coefficient取值 Value m = 2 n = 0 n = 2 Pm 1 Pn 0 1.506 Im 1 In 0 1.247 Jm 1 Jn 0 5.013 Km 0 Kn 1.883 5.328 Lm 0 Ln 0 0.182 Mm 0 Mn 0 3.584 P(m+2) 3 P(n+2) 1.506 3.500 I(m+2) 9 I(n+2) 1.247 10.022 J(m+2) 9 J(n+2) 5.013 18.935 K(m+2) 0 K(n+2) 5.328 6.092 L(m+2) 0 L(n+2) 0.182 0.999 M(m+2) 0 M(n+2) 3.584 7.914 注：P、I、J、K、L和M均为与足尺胶合板的模态振型相关的系数，其取值引自参考文献[8]。Notes：P, I, J, K, L and M are the coefficients related to mode shapes of full-size plywood panel, and the values of these coefficients are cited from reference [8]. 
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表 2 两对边简支的足尺胶合板计算模态分析的初始参数
Table 2. Initial parameters for calculated modeanalysis of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
板材种类
Panel type弹性模量
Modulus of elasticity (MOE)/MPa剪切模量
Shear modulus/MPa泊松比
Poisson’s ratio (υxy)密度
Density/(kg·m−3)尺寸
DimensionEx Ey Gxy Gyz Gxz 胶合板 Plywood 5 200 6 950 950 170 220 0.039 574 2 440 mm × 1 221 mm × 18 mm 注：表中数据引自参考文献[10]、[13]和[14]。Ex和Ey分别为足尺胶合板长度和宽度方向的弹性模量，Gxy、 Gyz和Gxz分别为足尺胶合板x-y、y-z和x-z平面内的剪切模量。下同。Notes：data in the table are cited from reference [10], [13] and [14]. Ex and Ey represent the MOE in length and width directions of full-size plywood panel, respectively. Gxy, Gyz and Gxz represent the shear modulus in the x-y, y-z and x-z planes of full-size plywood panels, respectively. Same as below.
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表 3 被测足尺胶合板的基本参数
Table 3. Basic parameters of the measured full-size plywood panels
板材
Panel板材尺寸
Panel dimension平均密度
Average density/(kg·m−3)PW12 2 441 mm × 1 221 mm × 12 mm 541 PW15 2 440 mm × 1 221 mm × 15 mm 534 PW18 2 441 mm × 1 222 mm × 18 mm 532 PW20 2 440 mm × 1 221 mm × 20 mm 524 注：PW12、PW15、PW18和PW20分别代表标称厚度为12、15、18和20 mm的胶合板。Notes: PW12, PW15, PW18 and PW20 represent the full-size plywood panels with nominal thickness of 12, 15, 18 and 20 mm, respectively.
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表 4 两对边简支足尺胶合板的前9阶模态参数
Table 4. The first nine mode parameters of full-size plywood panels simply supported on two opposite sides
Hz 阶次 Order PW12 PW15 PW18 PW20 振型 Vibration mode 1 3.1 3.6 4.3 4.5 (2, 0) 2 6.4 7.5 9.1 9.4 (2, 1) 3 11.3 13.8 16.7 17.2 (3, 0) 4 15.3 17.3 22.2 24.6 (3, 1) 5 24.8 30.2 34.0 35.0 (4, 0) 6 29.8 34.6 42.2 43.0 (4, 1) 7 31.0 38.2 46.7 49.0 (2, 2) 8 35.2 43.2 54.3 56.5 (3, 2) 9 48.5 57.0 70.0 71.0 (4, 2)
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表 5 两种方法测得的足尺胶合板弹性模量结果
Table 5. Results for MOE values of full-size plywood panels measured by two methods
板材 Panel MOE 振动法 Vibration method 静态法 Static method Ex d Ey d Ex s Ey s PW12 平均值 Mean value/MPa 7 057 6 841 5 864 5 964 标准偏差 Standard deviation/MPa 481 210 410 178 变异系数 Coefficient of variation/% 6.8 3.1 7.0 3.0 相对偏差 Relative deviation/% 20.4 14.7 PW15 平均值 Mean value/MPa 5 151 6 954 4 625 6 262 标准偏差 Standard deviation/MPa 470 267 360 211 变异系数 Coefficient of variation/% 9.1 3.8 7.8 3.4 相对偏差 Relative deviation/% 11.4 11.0 PW18 平均值 Mean value/MPa 4 846 6 886 4 383 6 619 标准偏差 Standard deviation/MPa 460 144 362 126 变异系数 Coefficient of variation/% 9.5 2.1 8.3 1.9 相对偏差 Relative deviation/% 10.6 4.0 PW20 平均值 Mean value/MPa 5 358 5 755 5 041 5 644 标准偏差 Standard deviation/MPa 863 260 733 270 变异系数 Coefficient of variation/% 16.1 4.5 14.5 4.8 相对偏差 Relative deviation/% 6.3 2.0 注：变异系数 = 标准偏差/平均值；相对偏差 = (动态弹性模量 − 静态弹性模量)/静态弹性模量。Notes: coefficient of variation is the ratio of standard deviation to mean value; relative deviation is the ratio of difference between dynamic MOE and static MOE to the static MOE.
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表 6 两种方法测得的足尺胶合板弹性模量的一元线性回归及相关参数
Table 6. One-dimensional linear regression and related parameters of MOE of full-size plywood panels measured by two methods
MOE 板材
Panel数量
Numbery = kx + r 相关系数
Correlation coefficientF值
F value显著性
Significancek r Ex PW12 5 0.812 134.225 0.952 29.329 0.012 PW15 5 0.704 996.482 0.921 16.733 0.026 PW18 5 0.754 727.515 0.957 32.957 0.010 PW20 5 0.841 534.570 0.991 157.710 0.001 PW 20 0.691 1 107.289 0.965 246.123 0.000 Ey PW12 5 0.771 690.256 0.911 14.635 0.031 PW15 5 0.693 1 440.095 0.878 10.062 0.050 PW18 5 0.839 842.478 0.961 36.134 0.009 PW20 5 1.028 −272.761 0.993 206.327 0.001 PW 20 0.616 2 052.229 0.809 34.185 0.000 注：y = kx + r，式中x和y分别代表足尺胶合板的动态和静态弹性模量，k为回归系数，r为常数。Notes: in the formula y = kx + r, x and y represent the dynamic and static MOE of full-size plywood panel, respectively, k is the regression coefficient and r is a constant.
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